设 $f\left( x \right) = \dfrac{1}{3}{x^3} + m{x^2} + nx$．
【难度】
【出处】
2011年高考江西卷（文）
【标注】
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如果 $g\left( x \right) = f'\left( x \right) - 2x - 3$ 在 $x = - 2$ 处取得最小值 $ - 5$，求 $f\left( x \right)$ 的解析式；标注答案解析已知\[f\left( x \right) = \dfrac{1}{3}{x^3} + m{x^2} + nx ,\]所以\[ f'\left( x \right) = {x^2} + 2mx + n . \]又因为\[g\left( x \right) = f'\left( x \right) - 2x - 3 = {x^2} + \left( {2m - 2} \right)x + n - 3,\]在 $x = - 2$ 处取极值，则\[g'\left( { - 2} \right) = 2\times \left( { - 2} \right) + \left( {2m - 2} \right) = 0 \Rightarrow m = 3,\]又在 $x = - 2$ 处取最小值 $ -5 $．则\[ g\left( { - 2} \right) = {\left( { - 2} \right)^2} + \left( { - 2} \right) \times 4 + n - 3 = - 5 \Rightarrow n = 2 , \]所以\[ f\left( x \right) = \dfrac{1}{3}{x^3} + 3{x^2} + 2x .\]
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如果 $m + n < 10\left( {m,n \in {{\mathbb{N}}_ + }} \right)$，$f\left( x \right)$ 的单调递减区间的长度是正整数，试求 $m$ 和 $n$ 的值．（注：区间 $\left( {a,b} \right)$ 的长度为 $b - a$）标注答案解析要使 $f\left( x \right) = \dfrac{1}{3}{x^3} + m{x^2} + nx$ 单调递减，则\[ {f'}\left( x \right) = {x^2} + 2mx + n < 0.\]又递减区间长度是正整数，所以 ${f'}\left( x \right) = {x^2} + 2mx + n = 0$ 两根设做 $ a,b $．即有：$ b-a $ 为区间长度．又\[ \begin{split}b - a &= \sqrt {{{\left( {a + b} \right)}^2} - 4ab} \\&= \sqrt {4{m^2} - 4n} \\&= 2\sqrt {{m^2} - n} \left( {m,n \in {{\mathbb{N}}_ + }} \right) . \end{split} \]又 $ b-a $ 为正整数，且 $ m+n<10 $，所以 $ m=2 $，$ n=3 $ 或，$m = 3$，$n = 5$ 符合．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
