设数列 $\left\{ {a_n} \right\}$ 的前 $n$ 项和为 ${S_n}$，数列 $\left\{ {S_n} \right\}$ 的前 $n$ 项和为 ${T_n}$，满足 ${T_n} = 2{S_n} - {n^2}$，$n \in {{\mathbb{N}}^*}$．
【难度】
【出处】
2012年高考广东卷（文）
【标注】
-
求 ${a_1}$ 的值；标注答案解析在 ${T_n} = 2{S_n} - {n^2},n \in {{\mathbb{N}}^*}$ 中，令 $n = 1$ 得 ${a_1} = 2{a_1} - 1$，解得 ${a_1} = 1$．
-
求数列 $\left\{ {a_n} \right\}$ 的通项公式．标注答案解析当 $ n\geqslant 2 $ 时，\[ \begin{split}S_n&＝T_n−T_{n−1}\\&＝2S_n−n^2−\left[2S_{n−1}−\left(n−1\right)^2\right]\\&＝2S_n−2S_{n−1}−2n+1.\end{split} \]所以\[ S_n=2S_{n-1}+2n-1,\quad \cdots \cdots ① \]所以\[S_{n+1}=2S_n+2n+1 ,\quad \cdots \cdots ② \]$ ② - ① $ 得\[a_{n+1}=2a_n+2.\]所以\[a_{n+1}+2=2\left(a_n+2\right),\]即\[\dfrac{a_{n+1}+2}{a_n+2}=2\left(n\geqslant 2\right), \]得 $ a_1+2=3 $，$ a_2+2=6 $，则 $\dfrac{a_2+2}{a_1+2}=2 $，
所以 $ \left\{a_n+2\right\} $ 是以 $ 3 $ 为首项，$ 2 $ 为公比的等比数列，
所以 $ a_n+2＝3\cdot 2^{n−1} $，
所以 $ a_n＝3\cdot 2^{n−1}−2,n\in {\mathbb{N}}^* $．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
