已知函数 $f\left(x\right)=ax^2+\dfrac1x$，其中 $a$ 为常数．
【难度】
【出处】
2015年高考上海卷（文）
【标注】
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根据 $a$ 的不同取值，判断函数 $f\left(x\right)$ 的奇偶性，并说明理由；标注答案当 $a=0$ 时，$f\left(x\right)$ 为奇函数；
当 $a\neq0$ 时，$f\left(x\right)$ 既不是奇函数也不是偶函数．解析$f\left(x\right)$ 的定义域为 $\left\{x \left|\right. x\neq0,x\in\mathbb {R}\right\}$，关于原点对称．\[f\left(-x\right)=a\left(-x\right)^2+\dfrac1{-x}=ax^2-\dfrac1x.\]当 $a=0$ 时，$f\left(-x\right)=-f\left(x\right)$，故 $f\left(x\right)$ 为奇函数；
当 $a\neq0$ 时，由 $f\left(1\right)=a+1$，$f\left(-1\right)=a-1$，知 $f\left(-1\right)\neq f\left(1\right)$，且 $f\left(-1\right)\neq -f\left(1\right)$，$f\left(x\right)$ 既不是奇函数也不是偶函数． -
若 $a\in\left(1,3\right)$，判断函数 $f\left(x\right)$ 在 $\left[1,2\right]$ 上的单调性，并说明理由．标注答案当 $a\in\left(1,3\right)$ 时，$f\left(x\right)$ 在 $\left[1,2\right]$ 上单调递增．理由略．解析设 $1\leqslant x_1<x_2\leqslant2$，则\[ \begin{split}f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)&=ax_2^2+\dfrac{1}{x_2}-ax_1^2-\dfrac{1}{x_1}\\&=\left(x_2-x_1\right)\left[a\left(x_1+x_2\right)-\dfrac{1}{x_1x_2}\right].\end{split} \]由 $1\leqslant x_1<x_2\leqslant2$，得 $x_2-x_1>0$，$2<x_1+x_2<4$，$1<x_1x_2<4$，$-1<-\dfrac{1}{x_1x_2}<-\dfrac14$，
又 $1<a<3$，所以 $2<a\left(x_1+x_2\right)<12$，得 $a\left(x_2+x_1\right)-\dfrac{1}{x_1x_2}>0$，从而 $f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)>0$，即 $f\left(x_2\right)>f\left(x_1\right)$，
故当 $a\in\left(1,3\right)$ 时，$f\left(x\right)$ 在 $\left[1,2\right]$ 上单调递增．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
