求函数 $y=x^{2}+x\sqrt{x^{2}-1}$ 的值域．
【难度】
【出处】
2013年全国高中数学联赛湖北省预赛
【标注】
【答案】
$\left(\dfrac{1}{2},+\infty\right)$
【解析】
设题中函数为 $y=f(x)$，其定义域为 $(-\infty,-1]\cup[1,+\infty)$．
情形一 当 $x\geqslant 1$ 时，函数 $f(x)$ 单调递增，其取值范围是 $[1,+\infty)$．
情形二 当 $x\leqslant -1$ 时，函数\[\begin{split}f(x)&=\sqrt{x^4}-\sqrt{x^4-x^2}\\
&=\dfrac{x^2}{\sqrt{x^4}+\sqrt{x^4-x^2}}\\
&=\dfrac{1}{1+\sqrt{1-\dfrac{1}{x^2}}},\end{split}\]于是 $f(x)$ 单调递增，因此其取值范围是 $\left(\dfrac 12,1\right]$．
综上所述，函数 $y=f(x)$ 的值域为 $\left(\dfrac 12,+\infty\right)$．
&=\dfrac{x^2}{\sqrt{x^4}+\sqrt{x^4-x^2}}\\
&=\dfrac{1}{1+\sqrt{1-\dfrac{1}{x^2}}},\end{split}\]于是 $f(x)$ 单调递增，因此其取值范围是 $\left(\dfrac 12,1\right]$．
综上所述，函数 $y=f(x)$ 的值域为 $\left(\dfrac 12,+\infty\right)$．
答案
解析
备注
