设 $m$ 是不为零的整数，关于 $x$ 的一元二次方程 $mx^2-(m-1)x+1=0$ 有有理根，求 $m$ 的值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
当 $m=6$ 时，方程的两个有理根分别为 $x_1=\dfrac 12$，$x_2=\dfrac 13$
【解析】
若原方程的根为有理数，
则 $\Delta=(m-1)^2-4m=(m-3)^2-8$ 为一个有理数的平方．
令 $(m-3)^2-8=n^2 (n>0)$，显然 $n$ 也为整数，
所以 $(m-3+n)(m-3-n)=8$．
由于 $m-3+n>m-3-n$，并且 $(m-3+n)+(m-3-n)=2(m-3)$ 是偶数，
所以 $m-3+n$ 和 $m-3-n$ 同奇偶，
所以 $\begin{cases}m-3+n=4,\\m-3-n=2\end{cases}或\begin{cases}m-3+n=-2,\\m-3-n=-4.\end{cases}$
解得 $\begin{cases}m_1=6,\\n_1=1;\end{cases}\begin{cases}m_2=0( 舍去 ),\\n_2=1.\end{cases}$
所以当 $m=6$ 时，方程的两个有理根分别为 $x_1=\dfrac 12$，$x_2=\dfrac 13$
则 $\Delta=(m-1)^2-4m=(m-3)^2-8$ 为一个有理数的平方．
令 $(m-3)^2-8=n^2 (n>0)$，显然 $n$ 也为整数，
所以 $(m-3+n)(m-3-n)=8$．
由于 $m-3+n>m-3-n$，并且 $(m-3+n)+(m-3-n)=2(m-3)$ 是偶数，
所以 $m-3+n$ 和 $m-3-n$ 同奇偶，
所以 $\begin{cases}m-3+n=4,\\m-3-n=2\end{cases}或\begin{cases}m-3+n=-2,\\m-3-n=-4.\end{cases}$
解得 $\begin{cases}m_1=6,\\n_1=1;\end{cases}\begin{cases}m_2=0( 舍去 ),\\n_2=1.\end{cases}$
所以当 $m=6$ 时，方程的两个有理根分别为 $x_1=\dfrac 12$，$x_2=\dfrac 13$
答案
解析
备注
