题目 关于 $x$ 的方程 $rx^2+(r+2)x+r-1=0$ 有且只有整数根． 问题1 若 $r$ 为整数，求 $r$ 的值； 答案1 $r=1$ 解析1 因为 $x_1,x_2$ 都是整数，所以 $x_1+x_2$ 和 $x_1x_2$ 均为整数，从而 $\dfrac 2r,\dfrac 1r$ 为整数．<br/>而 $r$ 为整数，所以 $r=\pm 1$．<br/>当 $r=-1$ 时，原方程的解不为整数，不符合条件；<br/>当 $r=1$ 时，原方程的解为 $x_1=0, x_2=-3$；<br/>综上所述，整数 $r=1$． 备注1 问题2 若 $r$ 为有理数，求 $r$ 的值． 答案2 $r=-\dfrac 13$ 或 $1$ 解析2 因为 $4x_1x_2-2(x_1+x_2)+1=4-\dfrac 4r+2+\dfrac 4r+1=7$，<br/>所以 $(2x_1-1)(2x_2-1)=7$．<br/>因为 $x_1,x_2$ 都是整数，所以 $2x_1-1$ 和 $2x_2-1$ 也为整数，<br/>则有 $\begin{cases}2x_1-1=1,\\2x_2-1=7\end{cases}$ 或 $\begin{cases}2x_1-1=-1,\\2x_2-1=-7,\end{cases}$<br/>解得 $\begin{cases}x_1=1,\\x_2=4\end{cases}$ 或 $\begin{cases}x_1=0,\\x_2=-3.\end{cases}$<br/>所以 $r=-\dfrac 13$ 或 $1$．<br/>经检验，$r=-\dfrac 13$ 或 $1$ 均符合题意． 备注2