已知关于 $x$ 的方程 $\left(k^2-1\right)x^2-3\left(3k-1\right)x+18=0$ 有正整数根，求整数 $k$ 的值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
当 $k=0,1,2,4,5$ 时方程有正整数根
【解析】
对未知数 $x$ 的二次项系数进行分类讨论：
① 当 $k^2-1=0$ 时，$k=\pm 1$．
若 $k=1$，解得 $x=3$；
若 $k=-1$，解得 $x=-\dfrac 32$（不符合题意舍去）．
② 当 $k^2-1\ne 0$ 时，
原方程可整理为 $\left[\left(k+1\right)x-6\right]\left[\left(k-1\right)x-3\right]=0$，
所以 $x_1=\dfrac{6 }{k+1}, x_2=\dfrac{3}{k-1}$．
因为原方程有整数根，所以 $k+1=1,2,3,6$ 或 $k-1=1,3$，
从而 $k=0,1,2,4,5$．
综上，当 $k=0,1,2,4,5$ 时方程有正整数根
① 当 $k^2-1=0$ 时，$k=\pm 1$．
若 $k=1$，解得 $x=3$；
若 $k=-1$，解得 $x=-\dfrac 32$（不符合题意舍去）．
② 当 $k^2-1\ne 0$ 时，
原方程可整理为 $\left[\left(k+1\right)x-6\right]\left[\left(k-1\right)x-3\right]=0$，
所以 $x_1=\dfrac{6 }{k+1}, x_2=\dfrac{3}{k-1}$．
因为原方程有整数根，所以 $k+1=1,2,3,6$ 或 $k-1=1,3$，
从而 $k=0,1,2,4,5$．
综上，当 $k=0,1,2,4,5$ 时方程有正整数根
答案
解析
备注
