求使关于 $x$ 的方程 $\left(a+1\right)x^2-\left(a^2+1\right)x+2a^2-6=0$ 的根均为整数的所有整数 $a$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
当 $a=-3,-1,0,1$ 时，方程有整数根
【解析】
对 $x$ 的二次项系数进行分类讨论：
① 当 $a+1=0$，即 $a=-1$ 时，
方程变为 $-2x-4=0$，
解得 $x=-2$ 符合要求；
② 当 $a+1\ne 0$，即 $a\ne -1$ 时，
设方程的两个整数根为 $x_1,x_2$，则由根与系数的关系可得
$\begin{split}&x_1+x_2=\dfrac{a^2+1}{a+1}=a-1+\dfrac{2}{a+1},\\ &x_1x_2=\dfrac{2a^2-6}{a+1}=2\left(a-1\right)-\dfrac{4}{a+1}.\end{split}$
因为 $x_1,x_2$ 都是整数，所以 $x_1+x_2$ 和 $x_1x_2$ 均为整数．
即 $\dfrac {2}{a+1}$ 为整数，所以 $a+1=\pm1,\pm2$，
从而 $a=-3,-2,0,1$．
当 $a=-3$ 时，原方程的解为 $x_1=1, x_2=-6$；
当 $a=-2$ 时，原方程的解不符合题意舍去；
当 $a=0$ 时，原方程的解为 $x_1=3, x_2=-2$；
当 $a=1$ 时，原方程的解为 $x_1=2, x_2=-1$．
综上所述，当 $a=-3,-1,0,1$ 时，方程有整数根．
① 当 $a+1=0$，即 $a=-1$ 时，
方程变为 $-2x-4=0$，
解得 $x=-2$ 符合要求；
② 当 $a+1\ne 0$，即 $a\ne -1$ 时，
设方程的两个整数根为 $x_1,x_2$，则由根与系数的关系可得
$\begin{split}&x_1+x_2=\dfrac{a^2+1}{a+1}=a-1+\dfrac{2}{a+1},\\ &x_1x_2=\dfrac{2a^2-6}{a+1}=2\left(a-1\right)-\dfrac{4}{a+1}.\end{split}$
因为 $x_1,x_2$ 都是整数，所以 $x_1+x_2$ 和 $x_1x_2$ 均为整数．
即 $\dfrac {2}{a+1}$ 为整数，所以 $a+1=\pm1,\pm2$，
从而 $a=-3,-2,0,1$．
当 $a=-3$ 时，原方程的解为 $x_1=1, x_2=-6$；
当 $a=-2$ 时，原方程的解不符合题意舍去；
当 $a=0$ 时，原方程的解为 $x_1=3, x_2=-2$；
当 $a=1$ 时，原方程的解为 $x_1=2, x_2=-1$．
综上所述，当 $a=-3,-1,0,1$ 时，方程有整数根．
答案
解析
备注
