如图1，在 $\triangle ABC$ 中，$D,E$ 分别是 $AB,AC$ 上的点，且 $DE\parallel BC$，将 $\triangle ADE$ 绕 $A$ 点顺时针旋转一定角度，连接 $BD,CE$，得到图2；然后将 $BD,CE$ 分别延长至 $M,N$，使 $DM=\dfrac12 BD,EN=\dfrac12 CE$，连接 $AM,AN,MN$，得到图3．
【难度】
【出处】
无
【标注】
-
若 $AB=AC$，请探究下列数量关系：
（i）在图2中，$BD$ 与 $CE$ 的数量关系是 $\underline{\qquad}$；
（ii）在图3中，猜想 $AM$ 与 $AN$ 的数量关系，$\angle MAN$ 与 $\angle BAC$ 的数量关系，并证明你的猜想；标注答案（i）$BD=CE$．
（ii）$AM=AN$，$\angle MAN=\angle BAC$解析（ii）由"等腰三角形共顶点模型"可得 $\triangle CAE\cong \triangle BAD (\mathrm {SAS})$，
所以 $CE=BD$，$\angle ACN=\angle ABM$．
所以 $BM=CN$，
从而 $\triangle ABM\cong \triangle ACN (\mathrm {SAS})$，
所以 $AM=AN$，$\angle BAM=\angle CAN$，
即 $\angle MAN=\angle BAC$． -
若 $AB=k\cdot AC\left(k>1\right)$，按上述操作方法，得到图4，请继续探究：$AM$ 与 $AN$ 的数量关系，$\angle MAN$ 与 $\angle BAC$ 的数量关系．标注答案$AM=k\cdot AN$，$\angle MAN=\angle BAC$解析由"相似三角形共顶点模型"可得 $\triangle CAE\sim \triangle BAD$，
所以 $\dfrac {BD}{CE}=\dfrac{AB}{AC}=k$，$\angle ACN=\angle ABM$．
所以 $\dfrac{BM}{CN}=\dfrac{AB}{AC}=k$，
从而 $\triangle ABM\sim \triangle ACN$，
所以 $AM=k\cdot AN$，$\angle BAM=\angle CAN$，
即 $\angle MAN=\angle BAC$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
