查看数据源：590954ba060a050008cff52b
如图，抛物线 $y=ax^2+2x-3$ 与 $x$ 轴交于 $A,B$ 两点，且点 $B$ 的坐标为 $(1,0)$．直线 $y=\dfrac 23x-\dfrac 49$ 分别与 $x$ 轴、$y$ 轴交于 $C,F$ 两点．点 $Q$ 是直线 $CF$ 下方的抛物线上的一个动点，过点 $Q$ 作 $y$ 轴的平行线，交直线 $CF$ 于点 $D$，点 $E$ 在线段 $CD$ 的延长线上，连接 $QE$．问：以 $QD$ 为腰的等腰 $\triangle QDE$ 的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．
【难度】
【出处】
无
【标注】
  • 题型
    >
    代几综合
    >
    等腰三角形的存在性
【答案】
以 $QD$ 为腰的等腰 $\triangle QDE$ 的面积存在最大值，最大值为 $\dfrac{54}{13}$
【解析】
将点 $B$ 坐标代入抛物线解析式，可得 $a=1$，
所以抛物线的解析式为 $y=x^2+2x-3$．
因为直线 $y=\dfrac 23x-\dfrac 49$ 分别与 $x$ 轴、$y$ 轴交于 $C,F$ 两点，
所以点 $C$ 的坐标为 $\left(\dfrac 23,0\right)$，点 $F$ 的坐标为 $\left(0,-\dfrac 49\right)$，
从而 $\tan \angle EDQ=\tan \angle OFC=\dfrac 32$．
如图，作 $QG\perp CE$ 于点 $G$，设 $DQ=t (t>0)$，则 $QG=\dfrac{3\sqrt{13}}{13}t$，$DG=\dfrac{2\sqrt{13}}{13}t$．以 $QD$ 为腰的等腰 $\triangle QDE$ 有两种可能：
① 若 $DQ=DE$，
此时 $\triangle QDE$ 的面积为 $S=\dfrac 12 DE\cdot QG=\dfrac{3\sqrt{13}}{26}t^2$；
② 若 $DQ=EQ$，则 $DE=2DG$，
此时 $\triangle QDE$ 的面积为 $S=\dfrac 12 DE\cdot QG=\dfrac 6{13}t^2$．
显然 $\dfrac 6{13}t^2>\dfrac{3\sqrt{13}}{26}t^2$，
所以当 $DQ=EQ$ 时，$S$ 有最大值，且当 $t$ 最大时，$S$ 取最大值．
设点 $Q$ 的坐标为 $(x,x^2+2x-3)$，则点 $D$ 的坐标为 $\left(x,\dfrac 23x-\dfrac 49\right)$，
所以 $t=QD=-x^2-\dfrac 43x+\dfrac{23}9=-\left(x+\dfrac 23\right)^2+3$，
从而 $t_{max}=3$，所以 $S_{max}=\dfrac{54}{13}$．
综上可得，以 $QD$ 为腰的等腰 $\triangle QDE$ 的面积存在最大值，最大值为 $\dfrac{54}{13}$．
答案 解析 备注
0.309688s