已知 $n\in\mathbb N^*$，求证：$\left[\sqrt{n}+\sqrt{n+1}+\sqrt{n+2} \right]=\left[\sqrt{9n+8} \right]$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
问题即当 $k^2\leqslant 9n+8<(k+1)^2$，$k\in\mathbb N^*$ 且 $k\geqslant 4$ 时，有$$k\leqslant \sqrt n+\sqrt{n+1}+\sqrt{n+2}<k+1,$$由 $k^2\leqslant 9n+8\leqslant (k+1)^2-1$，得$$\dfrac{k^2-8}9\leqslant n\leqslant \dfrac{(k+1)^2-9}9.$$先证明左边不等式．只需要证明$$\sqrt{k^2-8}+\sqrt{k^2+1}+\sqrt{k^2+10}\geqslant 3k,$$即$$3k^2+3+2\sqrt{k^4-7k^2-8}+2\sqrt{k^4+2k^2-80}+2\sqrt{k^4+11k^2+10}\geqslant 9k^2,$$而当 $k\geqslant 4$ 时，有$$\sqrt{k^4-7k^2-8}>k^2-\dfrac 92,\sqrt{k^4+2k^2-80}>k^2-2,\sqrt{k^4+11k^2+10}>k^2+5,$$因此上式$$LHS>3k^2+3+2k^2-9+2k^2-4+2k^2+10=9k^2.$$再证明右边不等式．只需要证明$$\sqrt{(k+1)^2-9}+\sqrt{(k+1)^2}+\sqrt{(k+1)^2+9}<3(k+1),$$即$$\sqrt{(k+1)^2-9}+\sqrt{(k+1)^2+9}<2(k+1),$$根据均值不等式，这是显然的．
综上所述，原命题得证．
综上所述，原命题得证．
答案
解析
备注
