如图，顶点为 $P\left(4,-4\right)$ 的二次函数图象经过原点 $\left(0,0\right)$，点 $A$ 在该图象上，$OA$ 交其对称轴 $l$ 于点 $M$，点 $M,N$ 关于点 $P$ 对称，连接 $AN,ON$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
-
求该二次函数的关系式；标注答案二次函数的解析式为 $y=\dfrac 14x^2-2x$解析因为二次函数图象的顶点为 $P\left(4,-4\right) $，
所以可设二次函数的关系式为 $y=a\left(x-4\right)^2-4$．
代入原点 $\left(0,0\right)$ 的坐标，得 $ a=\dfrac 14 $，
所以二次函数的解析式为 $y=\dfrac 14\left(x-4\right)^2-4=\dfrac 14x^2-2x$． -
当点 $A$ 在对称轴 $l$ 右侧的二次函数图象上运动时，请回答下列问题：
（i）证明：$\angle ANM=\angle ONM$；
（ii）$\triangle ANO$ 能否为直角三角形？如果能，请求出所有符合条件的点 $A$ 的坐标；如果不能，请说明理由．标注答案（ii）$\triangle ANO$ 能为直角三角形，符合条件的点 $A$ 的坐标为 $(4+4\sqrt 2,4)$解析（i）过点 $A $ 作 $ AH\perp l$ 于点 $H$，$ l $ 与 $ x$ 轴交与点 $D$．
设点 $A$ 的坐标为 $\left(m,\dfrac 14m^2-2m\right)$，则点 $H$ 的坐标为 $\left(4,\dfrac 14m^2-2m\right)$．
可得直线 $OA $ 的解析式为 $y=\left(\dfrac 14m-2\right)x$．
所以点 $M$ 的坐标为 $\left(4,m-8\right)$，从而点 $N$ 的坐标为 $\left(4,-m\right)$．
所以 $\tan {\angle ONM}=\dfrac {OD}{ND} =\dfrac 4m$，$\tan {\angle ANM}=\dfrac {AH}{NH}=\dfrac {m-4}{\dfrac 14m^2-m}=\dfrac 4m$，
即 $\tan{ \angle ANM}=\tan {\angle ONM}$，
所以 $\angle ANM=\angle ONM$．
（ii）若 $\triangle ANO$ 为直角三角形，则有三种情况：
① 当 $\angle ANO=90^\circ$ 时，有 $\angle ANM=\angle ONM=\angle NAH=45^\circ$，
此时 $AH=NH$，则 $m-4=\dfrac 14m^2-m$，
解得 $m=4$，得到 $A,P,N$ 重合，故不满足题意；
② 当 $\angle NOA=90^\circ$ 时，有 $ON^2+AO^2=AN^2$，
即 $4^2+\left(-m\right)^2+m^2+\left(\dfrac14m^2-2m\right)^2=\left(m-4\right)^2+\left(\dfrac14m^2-m\right)^2$，
解得 $m_1=0, m_2=4-4\sqrt 2, m_3=4+4\sqrt 2$．
当 $m=0$ 时，$A,O$ 重合，不满足题意，舍去；
当 $m=4-4\sqrt 2 <0$，$A$ 在对称轴左侧，不满足题意，舍去；
当 $m=4+4\sqrt 2$ 时，此时 $A\left(4+4\sqrt 2,4\right)$；
③ 当 $\angle NAO=90^\circ$ 时，设抛物线对称轴与 $x$ 轴的交点为 $D$．
所以 ${\triangle MAN} \backsim {\triangle DMO} \backsim {\triangle DON}$，
从而 $\dfrac{DM}{OD}=\dfrac{OD}{DN}$，
即 $\dfrac{8-m}{4}=\dfrac{4}{m}$，
解得 $m=4$，得到 $A,P$ 重合，故不满足题意．
综上可得，当点 $A$ 在对称轴 $l$ 右侧的二次函数图象上运动时，$\triangle ANO$ 能为直角三角形，符合条件的点 $A$ 的坐标为 $(4+4\sqrt 2,4)$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
