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设 $l_1,l_2,l_3$ 为空间中三条互相平行且两两间的距离分别为 $4,5,6$ 的直线．下列结论中正确的有 \((\qquad)\)
A: 存在 $A_i\in l_i$（$i=1,2,3$），使得 $\triangle{A_1A_2A_3}$ 是直角三角形
B: 存在 $ A_i\in l_i$（$i=1,2,3$），使得 $\triangle{A_1A_2A_3}$ 是等边三角形
C: 对任意 $A_i\in l_i$（$i=1,2,3$），$\triangle{A_1A_2A_3}$ 的周长不小于 $15$
D: 三条直线上存在四点 $A_i$（$i=1,2,3,4$），使得四面体 $A_1A_2A_3A_4$ 为在一个顶点处的三条棱两两互相垂直的四面体
【难度】
【出处】
无
【标注】
  • 知识点
    >
    立体几何
    >
    空间位置关系
    >
    空间的垂直关系
  • 方法
    >
    思考方式
    >
    构造状态量
  • 知识点
    >
    立体几何
    >
    空间几何量
    >
    空间的角
    >
    二面角
【答案】
ABC
【解析】
如图，设直线 $l_1$，$l_2$，$l_3$ 分别为“无底正三棱柱”的三条“侧棱”$AD$，$BE$，$CF$，且平面 $ABC$ 与侧棱垂直，$AB=4$，$BC=5$，$CA=6$．选项 A取 $A_2=B$．
当 $A_1=A$，$A_3=C$ 时，$$\angle{A_1A_2A_3}=\angle{ABC}<\dfrac{\pi}{2}.$$当 $A_1$ 趋于平面 $ABC$ 下方无穷远处，$A_3$ 趋于平面 $ABC$ 上方无穷远处时，$\angle{A_1A_2A_3}$ 趋于 $\pi$．
因此一定存在某个位置 $(A_1,A_3)$ 使得 $\angle{A_1A_2A_3}=\dfrac{\pi}{2}$．
选项 B取 $A_2=B$．
取 $A_1$ 位于 $A$ 点上方且 $A_1A=3$，$A_3=C$，则$$A_1A_2=A_2A_3=5,A_1A_3>6>5,$$此时$$\angle{A_1A_2A_3}>\dfrac{\pi}{3}.$$取 $A_1$、$A_3$ 趋于平面 $ABC$ 上方无穷远处，但运动中始终保持 $A_1A_2=A_2A_3$，此时 $\angle{A_1A_2A_3}$ 趋于 $0$．
因此一定存在某个位置 $(A_1,A_3)$ 使得 $\angle{A_1A_2A_3}=\dfrac{\pi}{3}$．
选项 C根据平行直线的距离的定义，显然正确．
选项 D显然四个点中有两个点（设为 $A_1$，$A_2$）位于同一条直线，另外两点（设为 $A_3$，$A_4$）分别落在其他两条直线．
$A_3$ 或 $A_4$ 显然不可能为直角顶点．
若 $A_1$ 或 $A_2$ 为直角顶点，不妨设 $A_1$ 为直角顶点．则 $A_3A_1\perp A_1A_2$，$A_4A_1\perp A_1A_2$，因此 $\angle{A_3A_1A_4}$ 为二面角的平面角，其大小为 $\triangle{ABC}$ 的某个内角大小，不可能为 $\dfrac{\pi}{2}$．
因此不存在符合题意的四面体．
题目 答案 解析 备注
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