给定正整数 $p,q$，数列 $\{a_n\}$ 满足：$a_1=a_2=1$，$a_{n+2}=pa_{n+1}+qa_n$（$n=1,2,3\cdots $）．求证：要使得对任意正整数 $m,n$，均有 $(a_m,a_n)=a_{(m,n)}$，当且仅当 $p=1$ 时成立．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
{\bf\color{cyan}必要性\quad}根据题意，有\[\begin{split}a_1&=1,\\ a_2&=1,\\ a_3&=p+q,\\ a_4&=p^2+pq+q,\\ a_5&=p^3+p^2q+2pq+q^2,\\ a_6&=p^4+p^3q+3p^2q+2pq^2+q^2,\end{split}\]而由 $(a_3,a_4)=a_1$，可得 $(p,q)=1$；又由 $(a_3,a_6)=a_3$，可得$$p+q\mid p^2q+q^2, \text{即} p+q\mid pq(p-1)+q(p+q),$$因此 $p=1$．
{\bf\color{cyan}充分性\quad}当 $p=1$ 时，$a_{n+2}=a_{n+1}+qa_n$，于是$$(a_{n+2},q)=(a_{n+1}+qa_n,q)=(a_{n+1},q)=\cdots =(a_1,q)=1,$$进而$$(a_{n+1},a_{n+2})=(a_{n+1},a_{n+1}+qa_n)=(a_{n+1},a_n)=\cdots =(a_1,a_2)=1.$$记 $a_0=0$，用数学归纳法可以证明对任意 $m,n\in\mathbb N^*$，$m\leqslant n$，均有$$a_n=a_ma_{n-m+1}+qa_{m-1}a_{n-m},$$于是$$(a_m,a_n)=(a_m,a_ma_{n-m+1}+qa_{m-1}a_{n-m})=(a_m,a_{n-m})=\cdots =(a_{(m,n)},a_{(m,n)})=a_{(m,n)},$$原命题得证．
{\bf\color{cyan}充分性\quad}当 $p=1$ 时，$a_{n+2}=a_{n+1}+qa_n$，于是$$(a_{n+2},q)=(a_{n+1}+qa_n,q)=(a_{n+1},q)=\cdots =(a_1,q)=1,$$进而$$(a_{n+1},a_{n+2})=(a_{n+1},a_{n+1}+qa_n)=(a_{n+1},a_n)=\cdots =(a_1,a_2)=1.$$记 $a_0=0$，用数学归纳法可以证明对任意 $m,n\in\mathbb N^*$，$m\leqslant n$，均有$$a_n=a_ma_{n-m+1}+qa_{m-1}a_{n-m},$$于是$$(a_m,a_n)=(a_m,a_ma_{n-m+1}+qa_{m-1}a_{n-m})=(a_m,a_{n-m})=\cdots =(a_{(m,n)},a_{(m,n)})=a_{(m,n)},$$原命题得证．
答案
解析
备注
