已知 $n,k\in\mathbb N^*$，求证：$$\dfrac{n^{k+1}}{k+1}<1^k+2^k+\cdots+n^k<\left(1+\dfrac 1n\right)^k\cdot \dfrac{n^{k+1}}{k+1}.$$
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
由于函数 $f(x)=x^k$ 单调递增，考虑区间 $[0,1]$ 上的分割$$0,\dfrac 1n,\dfrac 2n,\cdots ,\dfrac {n-1}n,1,$$可得$$\sum_{i=1}^{n}\left[\dfrac 1n\cdot \left(\dfrac{i}{n}\right)^k\right]>\int_0^1x^k{ \rm d}x=\dfrac{1}{k+1}.$$而考虑分割$$\dfrac 1{n+1},\dfrac 2{n+1},\cdots ,\dfrac {n}{n+1},1,$$可得$$\sum_{i=1}^{n}\left[\dfrac 1n\cdot \left(\dfrac{i}{n+1}\right)^k\right]<\int_0^1x^k{ \rm d}x=\dfrac{1}{k+1}.$$
答案
解析
备注
