如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y=ax^2+bx+4$ 与 $x$ 轴的一个交点为 $A\left(-2,0\right)$，与 $y$ 轴的交点为 $C$，对称轴是 $x=3$，对称轴与 $x$ 轴交于点 $B$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
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求抛物线的解析式；标注答案抛物线的解析式为 $y=-\dfrac 14x^2+\dfrac 32x+4$解析由题意可列方程组 $\begin{cases}4a-2b+4=0,\\ -\dfrac b{2a}=3,\end{cases}$
解得 $\begin{cases}a=-\dfrac 14,\\b=\dfrac 32.\end{cases}$
所以抛物线的解析式为 $y=-\dfrac 14x^2+\dfrac 32x+4$． -
若点 $D$ 在 $x$ 轴上，在抛物线上是否存在点 $P$，使得 $\triangle PBD\cong \triangle PBC$？若存在，求出点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由．标注答案存在，点 $P$ 的坐标为 $\left(4-\sqrt{26},\dfrac{-1+\sqrt{26}}{2}\right)$，$ \left(4+\sqrt{26},\dfrac{-1-\sqrt{26}}{2}\right)$，$\left(-1+\sqrt{41},-8+2\sqrt {41}\right)$ 或 $\left(-1-\sqrt{41},-8-2\sqrt{41}\right)$解析显然 $OA=2$，$OB=3$，$OC=4$，
所以 $BC=\sqrt{OB^2+OC^2}=5=BA$．
若 $\triangle PBD\cong \triangle PBC$，则 $BD=BC=5$，$PD=PC$，
所以点 $D$ 为抛物线与 $x$ 轴的左交点或右交点，点 $B,P$ 在 $CD$ 的垂直平分线上．
① 若点 $D$ 为抛物线与 $x$ 轴的左交点，即与点 $A$ 重合．
如图，取 $AC$ 的中点 $E$，作直线 $BE$ 交抛物线于 $P_1,P_2$ 两点．
此时 $\triangle P_1BC\cong \triangle P_1BD$，$\triangle P_2BC\cong \triangle P_2BD$．
由 $A,C$ 两点的坐标，可得点 $E$ 的坐标为 $(-1,2)$，
所以直线 $BE$ 的解析式为 $y=-\dfrac 12x+\dfrac 32$．
联立方程组 $\begin{cases}y=-\dfrac 12x+\dfrac 32,\\y=-\dfrac 14x^2+\dfrac 32x+4,\end{cases}$
解得 $\begin{cases}x_1=4-\sqrt {26},\\y_1=\dfrac{-1+\sqrt{26}}{2},\end{cases} \begin{cases}x_2=4+\sqrt {26},\\y_2=\dfrac{-1-\sqrt{26}}{2}.\end{cases}$
所以点 $P_1,P_2$ 的坐标分别为 $\left(4-\sqrt{26},\dfrac{-1+\sqrt{26}}{2}\right), \left(4+\sqrt{26},\dfrac{-1-\sqrt{26}}{2}\right)$；
② 若点 $D$ 为抛物线与 $x$ 轴点的右交点，则点 $D$ 坐标为 $(8,0)$．
如图，取 $CD$ 的中点 $F$，作直线 $BF$ 交抛物线于 $P_3,P_4$ 两点．
此时 $\triangle P_3BC\cong \triangle P_3BD$，$\triangle P_4BC\cong \triangle P_4BD$．
由 $C,D$ 两点的坐标，可得点 $F$ 的坐标为 $(4,2)$，
所以直线 $BF$ 的解析式为 $y=2x-6$．
联立方程组 $\begin{cases}y=2x-6,\\y=-\dfrac 14x^2+\dfrac 32x+4,\end{cases}$
解得 $\begin{cases}x_1=-1+\sqrt {41},\\y_1=-8+2\sqrt {41}.\end{cases} 或\begin{cases}x_2=-1-\sqrt {41},\\y_2=-8-2\sqrt{41}.\end{cases}$
所以点 $P_3,P_4$ 的坐标分别为 $\left(-1+\sqrt{41},-8+2\sqrt {41}\right), \left(-1-\sqrt{41},-8-2\sqrt{41}\right)$．
综上可得，满足题意的点 $P$ 的坐标为 $\left(4-\sqrt{26},\dfrac{-1+\sqrt{26}}{2}\right)$，$ \left(4+\sqrt{26},\dfrac{-1-\sqrt{26}}{2}\right)$，$\left(-1+\sqrt{41},-8+2\sqrt {41}\right)$ 或 $\left(-1-\sqrt{41},-8-2\sqrt{41}\right)$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
