如图，在三棱锥 中，$AC = BC = 2$，$\angle ACB = {90^ \circ }$，侧面 $PAB$ 为等边三角形，侧棱 $PC = 2\sqrt 2 $，$E$ 为 $PB$ 中点．
【难度】
【出处】
2011年南京理工大学自主招生暨保送生考试数学试题
【标注】
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求证：$PC\perp AB$；标注答案略解析取 $AB$ 的中点 $H$，连接 $PH$、$CH$，则 $PH \perp AB$，$CH \perp AB$，所以 $AB \perp\text{平面} PHC$，
因此 $AB \perp PC$．
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求证：平面 $PAB \perp $ 平面 $ABC$；标注答案略解析$PH = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}AB = \sqrt 6 $，$CH = \sqrt 2 $，$PC = 2\sqrt 2 $，所以 $\triangle PHC$ 为直角三角形，$PH \perp HC$．
因此 $PH \perp ABC$，于是 $PAB \perp ABC$． -
求点 $E$ 到平面 $PAC$ 的距离．标注答案$\dfrac{\sqrt {42}}{7}$解析因为 $PE=EB$，所以 $d(E,PAC)=\dfrac 12d(B,PAC)$．
在 $\triangle PAC$ 中，$PA = 2\sqrt 2 $，$PC = 2\sqrt 2 $，$AC = 2$，所以 ${S_{\triangle PAC}} = \sqrt 7 $．考虑$$V_{P-ABC}=\dfrac 13\cdot\dfrac 12\cdot 2\cdot 2\cdot\sqrt 6=\dfrac 13\cdot\sqrt 7\cdot d(B,PAC),$$解得 $d(B,PAC)=\dfrac 27\sqrt{42}$．所以 $d\left( {E, PAC} \right) =\dfrac{\sqrt {42}}{7}$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
问题3
答案3
解析3
备注3
