已知实数 $a$ 满足 $0 < a \leqslant 2$，$a \ne 1$，设函数 $f(x) = \dfrac{1}{3}{x^3} - \dfrac{{a + 1}}{2}{x^2} + ax$．
【难度】
【出处】
2011年南京理工大学自主招生暨保送生考试数学试题
【标注】
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当 $a = 2$，求 $f(x)$ 的极小值；标注答案$\dfrac{2}{3}$解析$f\left( x \right) = \dfrac{1}{3}{x^3} - \dfrac{3}{2}{x^2} + 2x$，所以$$f'\left( x \right) = {x^2} - 3x + 2,$$所以 $f\left( x \right)$ 的极小值点为 $x = 2$，极小值为 $f\left( 2 \right) = \dfrac{2}{3}$．
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若函数 $g\left( x \right) = {x^3} + b{x^2} - \left( {2b + 4} \right)x + \ln x (b \in {\mathbb{R}})$ 的极小值点与 $f(x)$ 的极小值点相同．求 $g(x)$ 的极大值的最大值，并求取到最大值时 $a , b$ 的值．标注答案当 $a=2,b=-\dfrac {17}4$ 时，$g(x)$ 有极大值有最大值 $\dfrac 54$解析函数 $f(x)$ 的导函数为$$f'\left( x \right) = {x^2} - \left( {a + 1} \right)x + a = \left( {x - a} \right)\left( {x - 1} \right),$$函数 $g(x)$ 的导函数为$$g'\left( x \right) =\dfrac {3x^2+2bx-(2b+4)x+1}x=\dfrac {(x-1)[3x^2+(2b+3)x-1]}{x}.$$
情形一 $0 < a < 1$ 时，$f\left( x \right)$ 的极小值点为 $x = 1$，
此时记$$3x^2+(2b+3)x-1=0$$的正根为 $m$，则$$b=\dfrac {-3m^2-3m+1}{2m}.$$因为 $m$ 为 $g(x)$ 的极大值点，所以 $m<1$，$g(x)$ 的极大值为$$\begin{split} g(m)=&m^3+bm^2-(2b+4)m+\ln m\\=&m^3+\dfrac m2(1-3m^2-3m)-\left(\dfrac 1m-3m+1\right)m+\ln m\\=&-\dfrac 12m^3+\dfrac 32m^2-\dfrac 12m-1+\ln m\\<&0+\dfrac 32+0-1+0=\dfrac 12.\end{split} $$情形二 $1 < a \leqslant 2$ 时，$f\left( x \right)$ 的极小值点为 $x = a$，$$3a^2+(2b+3)a-1=0,$$所以$$b =\dfrac 1{2a}-\dfrac 32a-\dfrac 32.$$此时 $g(x)$ 有极大值为 $g(1)$，有$$g(1)=-b-3=\dfrac 32a-\dfrac 1{2a}-\dfrac 32,$$因为 $y=\dfrac 32a-\dfrac 1{2a}-\dfrac 32$ 是关于 $a$ 的增函数，所以 $g(1)$ 的最大值在 $a=2$ 时取到，为 $\dfrac 54$，此时 $b=-\dfrac {17}4$．
综上知，当 $a=2,b=-\dfrac {17}4$ 时，$g(x)$ 有极大值有最大值 $\dfrac 54$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
