题目 若无穷数列 $\left\{a_n\right\} $ 满足：只要 $a_p=a_q \left(p,q\in \mathbb{N}^{*} \right) $，必有 $a_{p+1}=a_{q+1}$，则称 $\left\{a_n\right\} $ 具有性质 $\mathbb{P}$． 问题1 若 $ \left\{a_n\right\} $ 具有性质 $\mathbb{P}$，且 $a_1=1, a_2=2, a_4=3, a_5=2, a_6+a_7+a_8=21$，求 $a_3$； 答案1 $16$ 解析1 因为 $a_2=a_5=2$，所以$$a_3=a_6, a_4=a_7=3, a_5=a_8=2,$$因此 $a_6=21-a_7-a_8=16$，故 $a_3=16$． 备注1 问题2 若无穷数列 $\left\{b_n\right\} $ 是等差数列，无穷数列 $\left\{c_n\right\} $ 是公比为正数的等比数列，$b_1=c_5=1, b_5=c_1=81, a_n=b_n+c_n$，判断 $\left\{a_n\right\} $ 是否具有性质 $\mathbb{P}$，并说明理由； 答案2 $\left\{a_n\right\} $ 不具有性质 $\mathbb{P}$ 解析2 由于 $b_n=20n-19, c_n=\dfrac{1}{3^{n-5}} $，故$$a_n=b_n+c_n=20n-19+\dfrac{1}{3^{n-5}}. $$因为 $a_1=a_5=82$，但是$$a_2=21+27=48\ne a_6=101+\dfrac{1}{3}=\dfrac{304}{3}, $$所以 $\left\{a_n\right\} $ 不具有性质 $\mathbb{P}$． 备注2 问题3 设 $\left\{b_n\right\} $ 是无穷数列，已知 $a_{n+1}=b_n+\sin{a_n}\left(n\in \mathbb{N}^{*} \right) $，求证：“对任意 $a_1$，$\left\{a_n\right\} $ 都具有性质 $\mathbb{P}$”的充要条件为“$\left\{b_n\right\} $ 是常数列”． 答案3 略 解析3 <case>充分性</case>若 $\left\{b_n\right\} $ 是常数列，不妨设 $b_n=c$，则 $a_{n+1}=c+\sin{a_n}$．此时只要 $a_p=a_q \left(p,q\in \mathbb{N}^{*} \right) $，必有$$a_{p+1}=c+\sin{a_p}=c+\sin{a_q}=a_{q+1},$$故对任意 $a_1$，$\left\{a_n\right\} $ 都具有性质 $\mathbb{P}$．<br/><case>必要性</case>考察连续函数 $f(x)=x-b_1-\sin{x}$，其中 $b_1$ 为任意实数．<br/>因为$$f \left(b_1-2\right)=-2-\sin{\left(b_1-2\right) }<0, f\left(b_1+2\right)=2-\sin{\left(b_1+2\right)}>0, $$所以存在 $t\in \left(b_1-2,b_1+2\right) $，使得 $f(t)=t-b_1-\sin{t}=0$．<br/>若对任意 $a_1$，$\left\{a_n\right\} $ 都具有性质 $\mathbb{P}$，取 $a_1=t$，此时$$a_2=b_1+\sin{a_1}=b_1+\sin{t}=t=a_1,$$进而$$a_2=a_3, a_3=a_4, \cdots, a_n=a_{n+1}, \cdots,$$所以对任意 $n\in \mathbb{N}^{*} $，均有$$b_{n+1}=a_{n+2}-\sin{a_{n+1}}=a_{n+1}-\sin{a_n}=b_n,$$即 $\left\{b_n\right\} $ 是常数列．<br/>综上所述，“对任意 $a_1$，$\left\{a_n\right\} $ 都具有性质 $\mathbb{P}$”的充要条件为“$\left\{b_n\right\} $ 是常数列”． 备注3