题目 设函数 $f(x)=x\mathrm{e}^{a-x}+bx$，曲线 $y=f(x)$ 在点 $\left(2,f(2)\right)$ 处的切线方程为 $y=(\mathrm{e}-1)x+4$． 问题1 求 $a,b$ 的值； 答案1 $a=2,b=\mathrm{e}$ 解析1 函数 $f(x)$ 的导函数$$f'(x)={\rm e}^{a-x}(1-x)+b,$$因此根据题意有$$\begin{cases} f(2)=2({\rm e}-1)+4,\\ f'(2)={\rm e}-1,\end{cases}$$解得$$\begin{cases} a=2,\\ b=\mathrm{e}.\end{cases}$$ 备注1 问题2 求 $f(x)$ 的单调区间． 答案2 在 $\mathbb{R}$ 上单调递增 解析2 由 $(1)$ 可知，$$f(x)=x\mathrm{e}^{2-x}+\mathrm{e}x, f'(x)=\mathrm{e}\left[(1-x)\mathrm{e}^{1-x}+1\right].$$考察函数 $g(x)=x\mathrm{e}^x+1, x\in\mathbb{R}$，由于$$g'(x)=\mathrm{e}^x(x+1),$$故 $g(x)$ 的最小值为$$g(-1)=1-\dfrac{1}{\mathrm{e}}>0,$$由此可知 $f'(x)>0$．所以 $f(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上单调递增． 备注2