已知函数 $f\left( x \right) = a\ln x + \dfrac{1}{2}{x^2}$．
【难度】
【出处】
2008年西北工业大学自主招生测试
【标注】
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求 $f\left( x \right)$ 的单调区间；标注答案当 $a \geqslant 0$ 时，$f(x)$ 在 $\left( {0, + \infty } \right)$ 上单调递增；
当 $a < 0$ 时，$f(x)$ 的递减区间为 $\left( {0, \sqrt { - a} } \right)$，递增区间为 $\left( {\sqrt { - a} , + \infty } \right)$解析函数 $f(x)$ 的定义域为 $(0,+\infty)$，求导得$$f'(x) = \dfrac{a}{x} + x = \dfrac{{{x^2} + a}}{x},$$情形一 若 $a \geqslant 0$，则 $f'(x) > 0$，$f(x)$ 在 $\left( {0, + \infty } \right)$ 上单调递增；情形二 若 $a < 0$，因为$$f'(x) = \dfrac{{\left( {x + \sqrt { - a} } \right)\left( {x - \sqrt { - a} } \right)}}{x},$$所以 $f(x)$ 的递减区间为 $\left( {0, \sqrt { - a} } \right)$，递增区间为 $\left( {\sqrt { - a} , + \infty } \right)$． -
函数 $g\left(x \right)$ $ = \dfrac{2}{3}{x^3} - \dfrac{1}{6} $（$ x > 0 $），求证：$ a = 1 $ 时 $ f\left(x \right)$ 的图象不在 $ g\left(x \right)$ 图象的上方．标注答案略解析设 $F(x) = g(x) - f(x)$，则$$F(x) = \dfrac{2}{3}{x^3} - \dfrac{1}{6} - \ln x - \dfrac{1}{2}{x^2},$$求导得$$F'(x) = 2{x^2} - \dfrac{1}{x} - x = \dfrac{{(x - 1)(2{x^2} + x + 1)}}{x},$$所以 $0 < x < 1$ 时，$F'(x) < 0$，$F(x)$ 单调递减；$x > 1$ 时，$F'(x) > 0$，$F(x)$ 单调递增，故 $F(x)$ 在 $x = 1$ 处取得最小值，因此$$F(x) \geqslant F(1) = 0,$$即$$ g(x) \geqslant f(x),$$所以 $f(x)$ 不在 $g(x)$ 的上方．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
