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圆锥的轴截面 $SAB$ 是边长为 $2$ 的等边三角形，$O$ 为底面中心，$M$ 为 $SO$ 的中点，动点 $P$ 在圆锥底面内（包括圆周）．若 $AM\perp MP$，则点 $P$ 形成的轨迹的长度为  \((\qquad)\)
A: $\sqrt7$
B: $\dfrac{\sqrt7}{2}$
C: $3$
D: $\dfrac32$
【难度】
【出处】
2008年全国高中数学联赛浙江省预赛
【标注】
  • 知识点
    >
    立体几何
    >
    空间几何量
    >
    利用向量计算空间几何量
  • 题型
    >
    解析几何
    >
    轨迹问题
【答案】
B
【解析】
建立空间直角坐标系，如图． 则有$$A(0,-1,0),B(0,1,0),S(0,0,\sqrt3),M\left(0,0,\dfrac{\sqrt3}{2}\right),$$设 $P(x,y,0)$，于是有$$\overrightarrow{AM}=\left(0,1,\dfrac{\sqrt3}{2}\right),\overrightarrow{MP}=\left(x,y,-\dfrac{\sqrt3}{2}\right).$$由于 $AM\perp MP$，所以$$\left(0,1,\dfrac{\sqrt3}{2}\right)\cdot\left(x,y,-\dfrac{\sqrt3}{2}\right)=0,$$即 $y=\dfrac34$，此为点 $P$ 形成的轨迹方程，其在底面圆盘内的长度为\[2\sqrt{1-\left(\dfrac34\right)^2}=\dfrac{\sqrt7}{2}.\]
题目 答案 解析 备注
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