如图1，矩形 $ ABCD $ 中，$AB=7 \mathrm {cm}$，$AD=4 \mathrm {cm}$，点 $E$ 为 $AD$ 上一定点，点 $F$ 为 $AD$ 延长线上一点，且 $DF=a \mathrm {cm}$．点 $P$ 从 $A$ 点出发，沿 $AB$ 边向点 $B$ 以 $2 \mathrm {cm{/}s}$ 的速度运动．连接 $PE$，设点 $P$ 运动的时间为 $t \mathrm s$，$\triangle PAE$ 的面积为 $y \mathrm {cm^2}$．当 $0\leqslant t\leqslant 1$ 时，$\triangle PAE$ 的面积 $y\left(\mathrm {cm^2}\right)$ 关于时间 $t\left(\mathrm s\right)$ 的函数图象如图2所示．连接 $PF$，交 $CD$ 于点 $H$．
如图4，当点 $P$ 出发 $1 \mathrm s$ 后，$AD$ 边上另一点 $Q$ 从 $E$ 点出发，沿 $ED$ 边向点 $D$ 以 $1 \mathrm {cm{/}s}$ 的速度运动．如果 $P$，$Q$ 两点中的任意一点到达终点后，另一点也停止运动．连接 $PQ$，$QH$．若 $a=\dfrac 4 3 \mathrm {cm}$，请问 $\triangle PQH$ 能否构成直角三角形？若能，请求出点 $P$ 的运动时间 $t$；若不能，请说明理由．
如图4，当点 $P$ 出发 $1 \mathrm s$ 后，$AD$ 边上另一点 $Q$ 从 $E$ 点出发，沿 $ED$ 边向点 $D$ 以 $1 \mathrm {cm{/}s}$ 的速度运动．如果 $P$，$Q$ 两点中的任意一点到达终点后，另一点也停止运动．连接 $PQ$，$QH$．若 $a=\dfrac 4 3 \mathrm {cm}$，请问 $\triangle PQH$ 能否构成直角三角形？若能，请求出点 $P$ 的运动时间 $t$；若不能，请说明理由．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
当 $a=\dfrac 4 3 $ 时，由题意，得 $AQ=t$，$QD=4-t$．
$\because DH\parallel AP $，
$\therefore \triangle PAF\backsim \triangle HDF$．
$\therefore$ $\dfrac {HD} {PA} =\dfrac {DF} {AF} =\dfrac {\dfrac 4 3 } {4+\dfrac 4 3 } =\dfrac 1 4 $，
$\therefore$ $HD=\dfrac 1 4 \times 2t=\dfrac t 2 $．
过 $P$ 作 $PG$ 垂直于 $CD$，垂足为 $G$．
则 $GH=2t-\dfrac t 2 =\dfrac 3 2 t$，$PQ^2=PA^2+AQ^2=5t^2$，$QH^2=QD^2+HD^2=\left(4-t\right)^2+\dfrac 1 4 t^2$，
$PH^2=PG^2+HG^2=16+\dfrac 9 4 t^2$．
若 $\triangle PQH$ 为直角三角形，
① 当 $Q$ 为直角顶点时，则 $5t^2+\left(4-t\right)^2+\dfrac 1 4 t^2=16+\dfrac 9 4 t^2$，解得 $t=2$ 或 $t=0$（舍去）．
② 当 $H$ 为直角顶点时，则 $16+\dfrac 9 4 t^2+\left(4-t\right)^2+\dfrac 1 4 t^2=5t^2$，解得 $t=\dfrac 8 3 $ 或 $t=-8$（舍去）．
③ 当 $P$ 为直角顶点时，则 $5t^2+16+\dfrac 9 4 t^2=\left(4-t\right)^2+\dfrac 1 4 t^2$，解得 $t=-\dfrac 4 3 $（舍去）或 $t=0$（舍去）．
$\therefore$ 当 $t=2$ 或 $t=\dfrac 8 3 $ 时，$\triangle PQH$ 为直角三角形
$\because DH\parallel AP $，
$\therefore \triangle PAF\backsim \triangle HDF$．
$\therefore$ $\dfrac {HD} {PA} =\dfrac {DF} {AF} =\dfrac {\dfrac 4 3 } {4+\dfrac 4 3 } =\dfrac 1 4 $，
$\therefore$ $HD=\dfrac 1 4 \times 2t=\dfrac t 2 $．
过 $P$ 作 $PG$ 垂直于 $CD$，垂足为 $G$．
则 $GH=2t-\dfrac t 2 =\dfrac 3 2 t$，$PQ^2=PA^2+AQ^2=5t^2$，$QH^2=QD^2+HD^2=\left(4-t\right)^2+\dfrac 1 4 t^2$，
$PH^2=PG^2+HG^2=16+\dfrac 9 4 t^2$．
若 $\triangle PQH$ 为直角三角形，
① 当 $Q$ 为直角顶点时，则 $5t^2+\left(4-t\right)^2+\dfrac 1 4 t^2=16+\dfrac 9 4 t^2$，解得 $t=2$ 或 $t=0$（舍去）．
② 当 $H$ 为直角顶点时，则 $16+\dfrac 9 4 t^2+\left(4-t\right)^2+\dfrac 1 4 t^2=5t^2$，解得 $t=\dfrac 8 3 $ 或 $t=-8$（舍去）．
③ 当 $P$ 为直角顶点时，则 $5t^2+16+\dfrac 9 4 t^2=\left(4-t\right)^2+\dfrac 1 4 t^2$，解得 $t=-\dfrac 4 3 $（舍去）或 $t=0$（舍去）．
$\therefore$ 当 $t=2$ 或 $t=\dfrac 8 3 $ 时，$\triangle PQH$ 为直角三角形
【解析】
略
答案
解析
备注
