设 $\left\{a_n\right\}$ 是集合\[
\left\{k\left| k \text{可以表示成两个或两个以上的连续正整数的和}\right.\right\}
\]中所有的数从小到大排成的数列，此数列的前 $n$ 项和为 $S_n$．
\left\{k\left| k \text{可以表示成两个或两个以上的连续正整数的和}\right.\right\}
\]中所有的数从小到大排成的数列，此数列的前 $n$ 项和为 $S_n$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
-
试判断 $13,26,32$ 是不是数列 $\left\{a_n\right\}$ 中的项，说明理由；标注答案$13$，$26$ 是数列 $\left\{a_n\right\}$ 中的项，$32$ 不是数列 $\left\{a_n\right\}$ 中的项解析因为 $13=6+7$，$26=5+6+7+8$，所以 $13$，$26$ 都是数列 $\left\{a_n\right\}$ 中的项．
下面证明 $32$ 不是数列 $\left\{a_n\right\}$ 中的项，否则，设$$\begin{split}
32&=n+(n+1)+\cdots+(n+m-1)\\ &=\dfrac{m(2n+m-1)}{2},\end{split}$$其中 $m,n\in \mathbb{N}^{*}$，且 $m \geqslant 2$，于是$$m(2n+m-1)=64=2^6\cdots ① $$情形一 若 $m$ 为奇数，则 $m$ 是 $64$ 的大于 $1$ 的奇因子，与 ① 式矛盾；情形二 若 $m$ 为偶数，则 $2n+m-1$ 是 $64$ 的大于 $1$ 的奇因子，与 ① 式矛盾．
因此 $32$ 不是数列 $\left\{a_n\right\}$ 中的项． -
求 $a_{100}$，$S_{100}$；标注答案$a_{100}=107,
S_{100}=5651.$解析首先证明形如 $2^l \left(l\in \mathbb{N}^{*}\right)$ 的正整数都不是数列 $\left\{a_n\right\}$ 中的项．
否则，设\[
2^l=n+(n+1)+\cdots+(n+m-1)=\dfrac{m(2n+m-1)}{2},
\]其中 $m,n\in \mathbb{N}^{*}$，且 $m \geqslant 2$，于是$$m(2n+m-1)=2^{l+1}.\cdots ② $$情形一 若 $m$ 为奇数，则 $m$ 是 $2^{l+1}$ 的大于 $1$ 的奇因子，与 ② 式矛盾；情形二 若 $m$ 为偶数，则 $2n+m-1$ 是 $2^{l+1}$ 的大于 $1$ 的奇因子，与 ② 式矛盾．
所以形如 $2^l \left(l\in \mathbb{N}^{*}\right)$ 的正整数都不是数列 $\left\{a_n\right\}$ 中的项．
其次证明形如 $(2s+1)t \left(s,t\in \mathbb{N}^{*}\right)$ 的正整数都是数列 $\left\{a_n\right\}$ 中的项．
事实上，若 $s<t$，则\[
(2s+1)t=(t-s)+(t-s+1)+\cdots+(t-1)+t+(t+1)+\cdots+(t+s-1)+(t+s);
\]若 $s \geqslant t$，则\[
(2s+1)t=(s-t+1)+(s-t+2)+\cdots+s+(s+1)+\cdots+(s+t-1)+(s+t).
\]所以形如 $(2s+1)t \left(s,t\in \mathbb{N}^{*}\right)$ 的正整数都是数列 $\left\{a_n\right\}$ 中的项．
因此，在 $1,2,\cdots,100$ 中，仅 $1,2,4,8,16,32,64$ 不是数列 $\left\{a_n\right\}$ 中的项，故\[\begin{split}
a_{100}&=107,\\
S_{100}&=(1+2+\cdots+107)-(1+2+4+8+16+32+64)=5651.
\end{split}\] -
若将 $k$ 表示成两个或两个以上的连续正整数的和的形式，恰有 $i$ 种表示方法，则称 $k$ 具有性质 $P_i$，例如 $15$ 具有性质 $P_3$：\[
15=7+8=4+5+6=1+2+3+4+5.
\]试求具有性质 $P_5$ 的最小正整数．标注答案$45$解析由第（2）题可知，正整数 $M$ 的每一个大于 $1$ 的奇因子，都一一对应于将 $M$ 表示成两个或两个以上的连续正整数的和的一种形式，所以具有性质 $P_5$ 的正整数恰有 $5$ 个大于 $1$ 的奇因子，包括 $1$ 在内则恰有 $6$ 个奇因子．
因此具有性质 $P_5$ 的最小正整数一定可以分解成 $\alpha^5$ 或 $\beta^2\gamma$ 的形式，其中 $\alpha,\beta,\gamma$ 都是奇质数，易知\[\begin{split}
3^2\cdot 5=45
&=22+23\\
&=14+15+16\\
&=7+8+9+10+11\\
&=5+6+7+8+9+10\\
&=1+2+3+4+5+6+7+8+9
\end{split}\]是其中最小的一个，故具有性质 $P_5$ 的最小正整数为 $45$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
问题3
答案3
解析3
备注3
