已知由长方体的一个顶点出发的三条棱长之和为 $1$，表面积为 $\dfrac{16}{27}$，求长方体的体积的最值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
最大值为 $\dfrac{20}{729}$，最小值为 $\dfrac{16}{729}$
【解析】
由题意，设由长方体的一个顶点出发的三条棱长分别为 $x,y,z$，则\[
x+y+z=1, xy+yz+zx=\dfrac{8}{27}.\]因为 $yz=\dfrac{8}{27}-x(y+z)=\dfrac{8}{27}-x(1-x)$，所以\[xyz=x^3-x^2+\dfrac{8}{27}x.\]因为\[0<4yz=\dfrac{32}{27}-4x(1-x)\leqslant (y+z)^2=(1-x)^2<1,\]所以 $\dfrac{1}{9}\leqslant x\leqslant \dfrac{5}{9}$．
令 $f(x)=x^3-x^2+\dfrac{8}{27}x$，$\dfrac{1}{9}\leqslant x\leqslant \dfrac{5}{9}$．令 $f'(x)=0$，解得 $x=\dfrac{2}{9}$ 或 $x=\dfrac{4}{9}$．因为\[
f\left(\dfrac{1}{9}\right)=f\left(\dfrac{4}{9}\right)=\dfrac{16}{729}, f\left(\dfrac{2}{9}\right)=f\left(\dfrac{5}{9}\right)=\dfrac{20}{729},\]所以当且仅当三条棱长分别为 $\dfrac{2}{9},\dfrac{2}{9},\dfrac{5}{9}$ 时，长方体的体积有最大值 $\dfrac{20}{729}$；当且仅当三条棱长分别为 $\dfrac{1}{9},\dfrac{4}{9},\dfrac{4}{9}$ 时，长方体的体积有最小值 $\dfrac{16}{729}$．
x+y+z=1, xy+yz+zx=\dfrac{8}{27}.\]因为 $yz=\dfrac{8}{27}-x(y+z)=\dfrac{8}{27}-x(1-x)$，所以\[xyz=x^3-x^2+\dfrac{8}{27}x.\]因为\[0<4yz=\dfrac{32}{27}-4x(1-x)\leqslant (y+z)^2=(1-x)^2<1,\]所以 $\dfrac{1}{9}\leqslant x\leqslant \dfrac{5}{9}$．
令 $f(x)=x^3-x^2+\dfrac{8}{27}x$，$\dfrac{1}{9}\leqslant x\leqslant \dfrac{5}{9}$．令 $f'(x)=0$，解得 $x=\dfrac{2}{9}$ 或 $x=\dfrac{4}{9}$．因为\[
f\left(\dfrac{1}{9}\right)=f\left(\dfrac{4}{9}\right)=\dfrac{16}{729}, f\left(\dfrac{2}{9}\right)=f\left(\dfrac{5}{9}\right)=\dfrac{20}{729},\]所以当且仅当三条棱长分别为 $\dfrac{2}{9},\dfrac{2}{9},\dfrac{5}{9}$ 时，长方体的体积有最大值 $\dfrac{20}{729}$；当且仅当三条棱长分别为 $\dfrac{1}{9},\dfrac{4}{9},\dfrac{4}{9}$ 时，长方体的体积有最小值 $\dfrac{16}{729}$．
答案
解析
备注
