题目 设 $a_1,a_2,a_3,a_4$ 是各项为正数且公差为 $d\left(d\neq 0\right)$ 的等差数列． 问题1 证明：$2^{a_1},2^{a_2},2^{a_3},2^{a_4}$ 依次构成等比数列； 答案1 略 解析1 注意到$$\dfrac{2^{a_2}}{2^{a_1}}=\dfrac{2^{a_3}}{2^{a_2}}=\dfrac{2^{a_4}}{2^{a_3}}=2^d,$$于是命题得证． 备注1 问题2 是否存在 $a_1,d$，使得 $a_1,a_2^2,a_3^3,a_4^4$ 依次构成等比数列？并说明理由； 答案2 略 解析2 若存在 $a_1,d$，使得 $a_1,a_2^2,a_3^3,a_4^4$ 依次构成等比数列，易知对于任意实数 $p>0$，令 $b_i=pa_i, i=1,2,3,4$，则 $b_1,b_2^2,b_3^3,b_4^4$ 也依次构成等比数列． 备注2 问题3 是否存在 $a_1,d$ 及正整数 $n,k$，使得 $a_1^n,a_2^{n+k},a_3^{n+2k},a_4^{n+3k}$ 依次构成等比数列？并说明理由． 答案3 略 解析3 略 备注3