若已知肝癌的发病率是 $0.0004$，并可以通过甲胎蛋白法筛查肝癌．统计表明：用此方法对肝癌病人检验时，$95\%$ 的人呈阳性；而用此方法对非肝癌患者检验时，$90\%$ 的人呈阴性．如果有一个人，他的检验结果呈阳性，那么他患有肝癌的概率是多少？
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$0.0038$
【解析】
记事件“被检验者患有肝癌”为 $C$，事件“甲胎蛋白检验结果为阳性”为 $A$．由题意，\[
P\left(A \mid C\right)=0.95, P\left(\overline{A} \mid \overline{C}\right)=0.9, P(C)=0.0004,\]故\[
P\left(C \mid A\right)=\dfrac{P(C)P\left(A \mid C\right)}{P(C)P\left(A \mid C\right)+P\left(\overline{C}\right)P\left(A \mid \overline{C}\right)}=\dfrac{0.0004\cdot 0.95}{0.0004\cdot 0.95+0.9996\cdot 0.1}\approx 0.0038,\]所以这个人患有肝癌的概率约为 $0.0038$．
P\left(A \mid C\right)=0.95, P\left(\overline{A} \mid \overline{C}\right)=0.9, P(C)=0.0004,\]故\[
P\left(C \mid A\right)=\dfrac{P(C)P\left(A \mid C\right)}{P(C)P\left(A \mid C\right)+P\left(\overline{C}\right)P\left(A \mid \overline{C}\right)}=\dfrac{0.0004\cdot 0.95}{0.0004\cdot 0.95+0.9996\cdot 0.1}\approx 0.0038,\]所以这个人患有肝癌的概率约为 $0.0038$．
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