若函数 $f(x)=x^2-2x+a\ln{x}$ 有两个极值点 $x_1,x_2$，且 $x_1<x_2$，求证：$\dfrac{f \left(x_2\right)}{x_1}<-\dfrac{3}{2}-\ln{2}$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
函数 $f(x)$ 的导函数$$f'(x)=\dfrac{2x^2-2x+a}{x},$$令 $g(x)=2x^2-2x+a$，由题意，$g(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上有两个互异的实根，解得\[0<a<\dfrac{1}{2}.\]由题意，可得\[
x_1+x_2=1, 0<x_1<\dfrac{1}{2}<x_2<1, a=2x_2-2x_2^2,\]所以$$\dfrac{f \left(x_2\right)}{x_1}<-\dfrac{3}{2}-\ln{2}
,$$也即$$ x_2^2-2x_2+2x_2\left(1-x_2\right)\ln{x_2}+\left(\dfrac{3}{2}+\ln{2}\right)\left(1-x_2\right)<0,$$也即$$\dfrac{x_2-2}{2\left(1-x_2\right)}+\ln{x_2}+\dfrac{3+2\ln{2}}{4x_2}<0,$$令 $h(t)=\dfrac{t-2}{2(1-t)}+\ln{t}+\dfrac{3+2\ln{2}}{4t}$，$\dfrac{1}{2}<t<1$．因为\[\begin{split}
h'(t)
&=\dfrac{1}{t}-\dfrac{1}{2(1-t)^2}-\dfrac{3+2\ln{2}}{4t^2}\\
&=\dfrac{(t-2)(2t-1)}{2t(1-t)^2}-\dfrac{3+2\ln{2}}{4t^2}\\
&<0,
\end{split}\]所以 $h(t)$ 在 $\left(\dfrac{1}{2},1\right)$ 上单调递减，所以当 $\dfrac{1}{2}<t<1$ 时，\[h(t)<h\left(\dfrac{1}{2}\right)=0.\]因此原命题成立．
x_1+x_2=1, 0<x_1<\dfrac{1}{2}<x_2<1, a=2x_2-2x_2^2,\]所以$$\dfrac{f \left(x_2\right)}{x_1}<-\dfrac{3}{2}-\ln{2}
,$$也即$$ x_2^2-2x_2+2x_2\left(1-x_2\right)\ln{x_2}+\left(\dfrac{3}{2}+\ln{2}\right)\left(1-x_2\right)<0,$$也即$$\dfrac{x_2-2}{2\left(1-x_2\right)}+\ln{x_2}+\dfrac{3+2\ln{2}}{4x_2}<0,$$令 $h(t)=\dfrac{t-2}{2(1-t)}+\ln{t}+\dfrac{3+2\ln{2}}{4t}$，$\dfrac{1}{2}<t<1$．因为\[\begin{split}
h'(t)
&=\dfrac{1}{t}-\dfrac{1}{2(1-t)^2}-\dfrac{3+2\ln{2}}{4t^2}\\
&=\dfrac{(t-2)(2t-1)}{2t(1-t)^2}-\dfrac{3+2\ln{2}}{4t^2}\\
&<0,
\end{split}\]所以 $h(t)$ 在 $\left(\dfrac{1}{2},1\right)$ 上单调递减，所以当 $\dfrac{1}{2}<t<1$ 时，\[h(t)<h\left(\dfrac{1}{2}\right)=0.\]因此原命题成立．
答案
解析
备注
