题目 已知函数 $f(x)=ax^2-4\ln{(x-1)}, a\in \mathbb{R} $． 问题1 当 $a=1$ 时，求 $f(x)$ 的单调区间； 答案1 单调递增区间为 $\left(2,+\infty\right) $，单调递减区间为 $(1,2)$ 解析1 当 $a=1$ 时，$f(x)$ 的单调递增区间为 $\left(2,+\infty\right) $，单调递减区间为 $(1,2)$． 备注1 问题2 已知点 $P(1,1)$ 和函数 $f(x)$ 图象上的动点 $M \left(m,f(m)\right)$，对任意 $m\in \left[2,\mathrm{e} +1\right]$，直线 $PM$ 的倾斜角都是钝角，求 $a$ 的取值范围． 答案2 $\left(-\infty,\dfrac{1}{4} \right) $ 解析2 由题意，$f(x)$ 在区间 $\left[2,\mathrm{e} +1\right]$ 上的最大值小于 $1$．$$f'(x)=\dfrac{2\left(ax^2-ax-2\right) }{x-1}, x\in \left[2,\mathrm{e} +1\right].$$令$$g(x)=ax^2-ax-2, x\in \left[2,\mathrm{e} +1\right].$$<case>情形一</case>当 $a=0$ 时，$f(x)=-4\ln{(x-1)}$ 在 $\left[2,\mathrm{e} +1\right]$ 上单调递减，$$f(x)_{\max}=f(2)=0<1,$$所以此时 $a=0$．<br/><case>情形二</case>当 $a<0$ 时，$f(x)$ 在 $\left[2,\mathrm{e} +1\right]$ 上单调递减，$$f(x)_{\max}=f(2)=4a<1,$$所以此时 $a<0$．<br/><case>情形三</case>当 $a>0$ 时，$f(x)$ 在区间 $\left[2,\mathrm{e} +1\right]$ 上的最大值只能是 $f(2)$ 或 $f \left(\mathrm{e} +1\right) $，故$$\begin{cases}f(2)<1,\\f \left(\mathrm{e} +1\right)<1, \end{cases}$$解得 $0<a<\dfrac{1}{4} $．<br/>综上所述，$a$ 的取值范围是 $\left(-\infty,\dfrac{1}{4} \right) $． 备注2