题目 设函数 $f(x)=\ln x+\dfrac{k}{x}$． 问题1 若 $k=1$，求 $f(x)$ 的极小值； 答案1 $1$ 解析1 若 $k=1$，则 $f(x)$ 的极小值为 $f(1)=1$． 备注1 问题2 若 $|k|\geqslant\dfrac{1}{\mathrm{e}^2}$，讨论 $f(x)$ 的零点个数； 答案2 当 $k \leqslant -\dfrac{1}{\mathrm{e}^2}$ 时，$1$ 个；当 $\dfrac{1}{\mathrm{e}^2}\leqslant k<\dfrac{1}{\mathrm{e}}$ 时，$2$ 个；当 $k=\dfrac{1}{\mathrm{e}}$ 时，$1$ 个；当 $k>\dfrac{1}{\mathrm{e}}$ 时，$0$ 个 解析2 函数 $f(x)$ 的导函数$$f'(x)=\dfrac{x-k}{x^2}.$$<case>情形一</case>若 $k \leqslant -\dfrac{1}{\mathrm{e}^2}$，则 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上有且只有 $1$ 个零点．<br/><case>情形二</case>若 $\dfrac{1}{\mathrm{e}^2}\leqslant k<\dfrac{1}{\mathrm{e}}$，则 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上有且只有 $2$ 个零点．<br/><case>情形三</case>若 $k=\dfrac{1}{\mathrm{e}}$，则 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上有且只有 $1$ 个零点．<br/><case>情形四</case>若 $k>\dfrac{1}{\mathrm{e}}$，则 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上没有零点． 备注2 问题3 当 $k$ 为何值时，直线 $y=kx$ 与曲线 $y=f(x)$ 相切？（不要求写过程） 答案3 $\dfrac{1}{2}$ 解析3 令 $g(x)=kx-\dfrac{k}{x}$，$h(x)=\ln x$，数形结合，并注意到$$g(1)=h(1)=0,$$即可知当且仅当 $k=\dfrac{1}{2}$ 时，曲线 $y=g(x)$ 与曲线 $y=h(x)$ 相切于点 $(1,0)$，进而直线 $y=kx$ 与曲线 $y=f(x)$ 相切于点 $(1,0)$． 备注3 事实上，可以证明，$(1,0)$ 是直线 $y=kx$ 与曲线 $y=f(x)$ 的唯一交点．<br/><case>证明</case>设直线 $y=kx$ 与曲线 $y=f(x)$ 相切于点 $\left(t,kt\right)$，则$$\begin{cases}<br/>\ln t+\dfrac{k}{t}&=kt,\\<br/>\dfrac{1}{t}-\dfrac{k}{t^2}&=k,<br/>\end{cases}$$整理可得\[<br/>\ln t+\dfrac{1-t^2}{t^2+1}=0.<br/>\]令 $\varphi(t)=\ln t+\dfrac{1-t^2}{t^2+1} (t>0)$，则$$\varphi'(t)=\dfrac{\left(t^2-1\right)^2}{t \left(t^2+1\right)^2}\geqslant 0,$$故 $\varphi(t)$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递增．注意到 $\varphi(1)=0$，可知 $1$ 是 $\varphi(t)$ 的唯一零点．下略．