已知以 $T=4$ 为周期的函数 $f(x)=\begin{cases}m\sqrt{1-x^{2}},&x\in(-1,1],\\ 1-|x-2|,&x\in(1,3],\end{cases}$ 其中 $m>0$．若方程 $3f(x)=x$ 恰有 $5$ 个实数解，则 $m$ 的取值范围为 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2016年全国高中数学联赛黑龙江省预赛
【标注】
【答案】
D
【解析】
函数 $f(x)$ 的图象如图所示．
根据题意，直线 $y=\dfrac 13x$ 与 $y=m\sqrt{1-(x-4)^2}$ 相交且与 $y=m\sqrt{1-(x-8)^2}$ 相离，等价于直线 $x-3y+4=0$ 与椭圆 $x^2+\dfrac{y^2}{m^2}=1$ 相交而直线 $x-3y+8=0$ 与椭圆 $x^2+\dfrac{y^2}{m^2}=1$ 相离，借助等效判别式易得$$\begin{cases} 1+9m^2-16>0,\\ 1+9m^2-64<0,\end{cases}$$解得 $m$ 的取值范围是 $\left(\dfrac{\sqrt{15}}3,\sqrt 7\right)$．
根据题意，直线 $y=\dfrac 13x$ 与 $y=m\sqrt{1-(x-4)^2}$ 相交且与 $y=m\sqrt{1-(x-8)^2}$ 相离，等价于直线 $x-3y+4=0$ 与椭圆 $x^2+\dfrac{y^2}{m^2}=1$ 相交而直线 $x-3y+8=0$ 与椭圆 $x^2+\dfrac{y^2}{m^2}=1$ 相离，借助等效判别式易得$$\begin{cases} 1+9m^2-16>0,\\ 1+9m^2-64<0,\end{cases}$$解得 $m$ 的取值范围是 $\left(\dfrac{\sqrt{15}}3,\sqrt 7\right)$．
题目
答案
解析
备注
