若 $\mathrm{e}^x>a\ln x (x>1)$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\left(-\infty,\dfrac{\mathrm{e}^t}{\ln t}\right)$
【解析】
根据题意，有\[\forall x>0,a<\dfrac{\mathrm{e}^x}{\ln x}.\]令 $f(x)=\dfrac{\mathrm{e}^x}{\ln x} (x>1)$，则$$f'(x)=\dfrac{\mathrm{e}^x \left(\ln x-\dfrac{1}{x}\right)}{\ln^2x},$$令 $g(x)=\ln x-\dfrac{1}{x} (x>1)$．因为 $g'(x)=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^2}>0$，所以 $g(x)$ 在 $(1,+\infty)$ 上单调递增．又因为\[
g(1)=-1<0, g(2)=\ln 2-\dfrac{1}{2}>0,\]所以存在唯一的实数 $t\in (1,2)$，使得 $g(t)=0$．由此可得下表：$$\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline
x & (1,t) & t & (t,+\infty) \\ \hline
f'(x) & - &0 & + \\ \hline
f(x) & \searrow &最小值& \nearrow \\ \hline
\end{array}$$所以实数 $a$ 的取值范围是 $\left(-\infty,\dfrac{\mathrm{e}^t}{\ln t}\right)$，其中常数 $t\in (1,2)$ 是超越方程 $\ln x-\dfrac{1}{x}=0$ 的唯一实根．
g(1)=-1<0, g(2)=\ln 2-\dfrac{1}{2}>0,\]所以存在唯一的实数 $t\in (1,2)$，使得 $g(t)=0$．由此可得下表：$$\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline
x & (1,t) & t & (t,+\infty) \\ \hline
f'(x) & - &0 & + \\ \hline
f(x) & \searrow &最小值& \nearrow \\ \hline
\end{array}$$所以实数 $a$ 的取值范围是 $\left(-\infty,\dfrac{\mathrm{e}^t}{\ln t}\right)$，其中常数 $t\in (1,2)$ 是超越方程 $\ln x-\dfrac{1}{x}=0$ 的唯一实根．
答案
解析
备注
