已知椭圆 $E:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1 (a>b>0)$，圆 $O:x^2+y^2=r^2$，其中 $O$ 为坐标原点．椭圆 $E$ 上两点 $P,Q$ 满足直线 $OP$ 与直线 $OQ$ 的斜率之积为 $-\dfrac{b^2}{a^2}$，求直线 $PQ$ 被圆 $O$ 截得的弦长的取值范围．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\left[\sqrt{4r^2-2a^2},\sqrt{4r^2-2b^2}\right]$
【解析】
根据题意，在仿射变换 $x'=x$，$y'=\dfrac aby$ 下，椭圆变为圆 $E':x'^2+y'^2=a^2$．此时直线 $OP'$ 与直线 $OQ'$ 的斜率之积为 $-1$，因此 $\triangle P'OQ'$ 的面积为定值 $\dfrac 12a^2$，回到原图形，有 $\triangle POQ$ 的面积为定值 $\dfrac 12ab$．要求直线 $PQ$ 被圆 $O$ 截得的弦长的取值范围，可以转化为求弦长 $PQ$ 的取值范围．
考虑到在仿射变换后弦 $P'Q'$ 与圆 $x^2+y^2=\dfrac 12a^2$ 相切，于是在原图形中，弦 $PQ$ 与椭圆\[\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=\dfrac 12\]相切，该椭圆与椭圆 $E$ 的相似比为 $\dfrac{\sqrt 2}2$．利用仿射变换容易知道当 $PQ$ 的斜率为 $0$ 时，$|PQ|$ 最大，为 $\sqrt 2a$；当 $PQ$ 的斜率不存在时，$|PQ|$ 最小为 $\sqrt 2b$．这样我们就有原点 $O$ 到直线 $PQ$ 的距离 $d$ 的取值范围是 $\left[\dfrac{b}{\sqrt 2},\dfrac{a}{\sqrt 2}\right]$，所求弦长的取值范围是 $\left[\sqrt{4r^2-2a^2},\sqrt{4r^2-2b^2}\right]$．
考虑到在仿射变换后弦 $P'Q'$ 与圆 $x^2+y^2=\dfrac 12a^2$ 相切，于是在原图形中，弦 $PQ$ 与椭圆\[\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=\dfrac 12\]相切，该椭圆与椭圆 $E$ 的相似比为 $\dfrac{\sqrt 2}2$．利用仿射变换容易知道当 $PQ$ 的斜率为 $0$ 时，$|PQ|$ 最大，为 $\sqrt 2a$；当 $PQ$ 的斜率不存在时，$|PQ|$ 最小为 $\sqrt 2b$．这样我们就有原点 $O$ 到直线 $PQ$ 的距离 $d$ 的取值范围是 $\left[\dfrac{b}{\sqrt 2},\dfrac{a}{\sqrt 2}\right]$，所求弦长的取值范围是 $\left[\sqrt{4r^2-2a^2},\sqrt{4r^2-2b^2}\right]$．
答案
解析
备注
