已知在关于 $x$ 的一元二次方程 $\left(2-k\right)x^2+3mx+\left(3-k\right)n=0$，$k,m,n$ 均为实数．当方程有两个整数根 $x_1,x_2$ 时，若 $k$ 为整数，且 $k=m+2,n=1$ 时，求方程的整数根．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$m=1$ 时，方程的整数根为 $x_1=0, x_2=3$；
$m=-1$ 时，方程的整数根为 $x_1=1, x_2=2$
$m=-1$ 时，方程的整数根为 $x_1=1, x_2=2$
【解析】
把 $k=m+2$，$n=1$ 代入原方程得 $-mx^2+3mx+\left(1-m\right)=0$，
即 $mx^2-3mx+m-1=0$，
所以 $x_1+x_2=3$，$x_1 \cdot x_2=\dfrac{m-1}{m}=1- \dfrac{1}{m}$．
因为 $x_1,x_2$ 是整数，$k,m$ 都是整数，
所以 $1-\dfrac{1}{m}$ 为整数，
从而 $m=1$ 或 $-1$．
把 $m=1$ 代入方程 $mx^2-3mx+m-1=0$ 得 $x^2-3x+1-1=0$，
解得 $x_1=0, x_2=3$；
把 $m=-1$ 代入方程 $mx^2-3mx+m-1=0$ 得 $-x^2+3x-2=0$，
解得 $x_1=1, x_2=2$．
即 $mx^2-3mx+m-1=0$，
所以 $x_1+x_2=3$，$x_1 \cdot x_2=\dfrac{m-1}{m}=1- \dfrac{1}{m}$．
因为 $x_1,x_2$ 是整数，$k,m$ 都是整数，
所以 $1-\dfrac{1}{m}$ 为整数，
从而 $m=1$ 或 $-1$．
把 $m=1$ 代入方程 $mx^2-3mx+m-1=0$ 得 $x^2-3x+1-1=0$，
解得 $x_1=0, x_2=3$；
把 $m=-1$ 代入方程 $mx^2-3mx+m-1=0$ 得 $-x^2+3x-2=0$，
解得 $x_1=1, x_2=2$．
答案
解析
备注
