如图，在平面直角坐标系中．顶点为 $\left(-4,-1\right)$ 的抛物线交 $y$ 轴于点 $A\left(0,3\right)$，交 $x$ 轴于 $B,C$ 两点．
【难度】
【出处】
无
【标注】
-
已知点 $P$ 是抛物线上位于 $B,C$ 两点之间的一个动点，问：当点 $P$ 运动到什么位置时，四边形 $ABPC$ 的面积最大？并求出此时四边形 $ABPC$ 的面积．标注答案当 $P$ 点移动到抛物线的顶点时，$|y_P|$ 取最大值，最大值为 $|y_P|=1$，
$S_{四边形ABPC}$ 的最大值为 $S_{四边形ABPC}=2\times(3+1)=8$解析根据题意，可设抛物线的解析式为 $y=a\left(x+4\right)^2-1$，
把点 $A\left(0,3\right)$ 代入，得 $3=16a-1$，
解得 $a= \dfrac14$，
所以此抛物线的解析式为 $y= \dfrac14\left(x+4\right)^2-1$．
如图．
令 $y=0$，则 $0=\dfrac14 \left(x+4\right)^2-1$，
解得 $x_1=-2, x_2=-6$，
所以点 $B$ 的坐标为 $\left(-2,0\right)$，点 $C$ 的坐标为 $\left(-6,0\right)$，即 $BC=4$．
$\begin{split}S_{四边形ABPC}&=S_{\triangle ABC}+S_{\triangle PBC}\\ &=\dfrac 12\left(|y_A+y_P|\right)\cdot BC\\ &=2(3+|y_P|).\end{split}$
所以 $|y_P|$ 最大时，$S_{四边形ABPC}$ 取最大值．
而当 $P$ 点移动到抛物线的顶点时，$|y_P|$ 取最大值，最大值为 $|y_P|=1$，
所以 $S_{四边形ABPC}$ 的最大值为 $S_{四边形ABPC}=2\times(3+1)=8$． -
过点 $B$ 作 $AB$ 的垂线交抛物线于点 $D$，是否存在以点 $C$ 为圆心且与线段 $BD$ 和抛物线的对称轴 $l$ 同时相切的圆？若存在，求出圆的半径；若不存在，请说明理由．标注答案不存在以点 $C$ 为圆心且与线段 $BD$ 和抛物线的对称轴 $l$ 同时相切的圆解析如图，设 $\odot C$ 与 $BD$ 相切于点 $E$，连接 $CE$．
则 $\angle BEC=\angle AOB=90^\circ $．
因为 $ A\left(0,3\right)$，$B\left(-2,0\right)$，$C\left(-6,0\right)$，
所以 $ OA=3$，$OB=2$，$OC=6$，$BC=4$，
所以 $AB= \sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{13}$．
因为 $ AB\perp BD$，
所以 $\angle ABC=\angle EBC+90^\circ =\angle OAB+90^\circ $，
所以 $ \angle EBC=\angle OAB$，
所以 $\triangle OAB\backsim \triangle EBC$，
所以 $\dfrac{CE}{OB}= \dfrac{BC}{AB}$，即 $\dfrac{CE}{2} =\dfrac{4}{\sqrt{13}} $，
所以 $ EC=\dfrac{8\sqrt{13}}{13} $．
设抛物线对称轴交 $x$ 轴于 $F$．
因为抛物线的对称轴 $x=-4$，
所以 $CF=2\neq \dfrac{8\sqrt{13}}{13} $，
所以不存在以点 $C$ 为圆心且与线段 $BD$ 和抛物线的对称轴 $l$ 同时相切的圆．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
