已知 $O$ 为坐标原点，抛物线 ${y_1}=a{x^2}+bx + c\left(a \ne 0\right)$ 与 $x$ 轴相交于点 $A\left({x_1},0\right)$，$B\left({x_2},0\right)$．与 $y$ 轴交于点 $C$，且 $O,C$ 两点之间的距离为 $3$，${x_1}\cdot {x_2}<0$，$\left|{x_1}\right|+\left|{x_2}\right|=4$，点 $A,C$ 在直线 ${y_2}=-3x+t$ 上．将抛物线 ${y_1}$ 向左平移 $n\left(n > 0\right)$ 个单位，记平移后 $y$ 随着 $x$ 的增大而增大的部分为 $P$，直线 ${y_2}$ 向下平移 $n$ 个单位，当平移后的直线与 $P$ 有公共点时，求 $2{n^2}-5n$ 的最小值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
当 $n=\dfrac 54$ 时，$2n^2-5n$ 取最小值，最小值为 $-\dfrac{25}{8}$
【解析】
① 若 $c=3$，则点 $C(0,3)$，
所以直线 $AC$ 为 $y_2=-3x+3$，从而点 $A(1,0)$．
由 ${x_1}\cdot {x_2}<0, \left|{x_1}\right|+\left|{x_2}\right|=4$，可得点 $B(-3,0)$．
所以抛物线解析为 $y=a(x+3)(x-1)$．
将点 $C$ 坐标代入，得 $a=-1$，
所以 $ y_1=-x^2-2x+3=-\left(x+1\right)^2+4 $．
抛物线 $y_1$ 向左平移 $n$ 个单位，则解析式为 $y_3=-\left(x+1+n\right)^2+4$，
故当 $x\leqslant -1-n$ 时，$y$ 随 $x$ 增大而增大．
直线 $y_2$ 向下平移 $n$ 个单位，则解析式为 $y_4=-3x+3-n $．
要使平移后直线与 $P$ 有公共点，则当 $x=-1-n$，$y_3\geqslant y_4$，
即 $-\left(-1-n+1+n\right)^2+4\geqslant -3\left(-1-n\right)+3-n$，
解得 $n\leqslant -1$．
而 $n>0$，则 $n\leqslant -1$ 不符合条件，应舍去．
② 若 $ c=-3 $，则点 $C(0,-3)$，
所以直线 $AC$ 为 $y_2=-3x-3$，从而点 $A(-1,0)$．
由 ${x_1}\cdot {x_2}<0, \left|{x_1}\right|+\left|{x_2}\right|=4$，可得点 $B(3,0)$．
所以抛物线解析为 $y=a(x-3)(x+1)$．
将点 $C$ 坐标代入，得 $a=1$，
所以 $ y_1=x^2-2x-3=\left(x-1\right)^2-4 $．
抛物线 $y_1$ 向左平移 $n$ 个单位，则解析式为 $ y_3=\left(x-1+n\right)^2-4 $，
故当 $x\geqslant 1-n$ 时，$y$ 随 $x$ 增大而增大．
直线 $y_2$ 向下平移 $n$ 个单位，则解析式为 $y_4=-3x-3-n$．
要使平移后直线与 $P$ 有公共点，则当 $x=1-n$，$y_4\geqslant y_3$，
即 $-3\left(1-n\right)-3-n\geqslant \left(1-n-1+n\right)^2-4$，
解得 $n\geqslant 1$．
综上可得，$ n\geqslant 1 $．
而 $ 2n^2-5n=2\left(n-\dfrac 54\right)^2-\dfrac{25}{8}$，
所以当 $n=\dfrac 54$ 时，$2n^2-5n$ 取最小值，最小值为 $-\dfrac{25}{8}$．
所以直线 $AC$ 为 $y_2=-3x+3$，从而点 $A(1,0)$．
由 ${x_1}\cdot {x_2}<0, \left|{x_1}\right|+\left|{x_2}\right|=4$，可得点 $B(-3,0)$．
所以抛物线解析为 $y=a(x+3)(x-1)$．
将点 $C$ 坐标代入，得 $a=-1$，
所以 $ y_1=-x^2-2x+3=-\left(x+1\right)^2+4 $．
抛物线 $y_1$ 向左平移 $n$ 个单位，则解析式为 $y_3=-\left(x+1+n\right)^2+4$，
故当 $x\leqslant -1-n$ 时，$y$ 随 $x$ 增大而增大．
直线 $y_2$ 向下平移 $n$ 个单位，则解析式为 $y_4=-3x+3-n $．
要使平移后直线与 $P$ 有公共点，则当 $x=-1-n$，$y_3\geqslant y_4$，
即 $-\left(-1-n+1+n\right)^2+4\geqslant -3\left(-1-n\right)+3-n$，
解得 $n\leqslant -1$．
而 $n>0$，则 $n\leqslant -1$ 不符合条件，应舍去．
② 若 $ c=-3 $，则点 $C(0,-3)$，
所以直线 $AC$ 为 $y_2=-3x-3$，从而点 $A(-1,0)$．
由 ${x_1}\cdot {x_2}<0, \left|{x_1}\right|+\left|{x_2}\right|=4$，可得点 $B(3,0)$．
所以抛物线解析为 $y=a(x-3)(x+1)$．
将点 $C$ 坐标代入，得 $a=1$，
所以 $ y_1=x^2-2x-3=\left(x-1\right)^2-4 $．
抛物线 $y_1$ 向左平移 $n$ 个单位，则解析式为 $ y_3=\left(x-1+n\right)^2-4 $，
故当 $x\geqslant 1-n$ 时，$y$ 随 $x$ 增大而增大．
直线 $y_2$ 向下平移 $n$ 个单位，则解析式为 $y_4=-3x-3-n$．
要使平移后直线与 $P$ 有公共点，则当 $x=1-n$，$y_4\geqslant y_3$，
即 $-3\left(1-n\right)-3-n\geqslant \left(1-n-1+n\right)^2-4$，
解得 $n\geqslant 1$．
综上可得，$ n\geqslant 1 $．
而 $ 2n^2-5n=2\left(n-\dfrac 54\right)^2-\dfrac{25}{8}$，
所以当 $n=\dfrac 54$ 时，$2n^2-5n$ 取最小值，最小值为 $-\dfrac{25}{8}$．
答案
解析
备注
