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  代几综合

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  函数与面积

一次函数的解析式为 $y= \dfrac {5}{12}x+\dfrac 53$

设抛物线的解析式为 $y=ax^2+bx+c$，
因为抛物线经过 $A\left(-3,0\right),B\left(1,0\right),C\left(2,\dfrac 52 \right)$ 三点，
所以 $\begin{cases} 9a-3b+c=0, \\ a+b+c=0, \\ 4a+2b+c=\dfrac 52,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases} a=\dfrac 12, \\ b=1, \\ c=-\dfrac 32,\end{cases}$
所以抛物线的解析式为 $y= \dfrac 12x^2+x-\dfrac 32$．
如图，记直线 $CD$ 交 $y$ 轴于点 $F$．将 $C$ 点坐标代入直线 $CD$，得 $2k+b=\dfrac 52. \quad \cdots \cdots ① $
当 $x=0$ 时，$y=b$，即 $F\left(0,b\right)$．
当 $x=-1$ 时，$y=-k+b$，即 $E\left(-1,-k+b\right)$．
当 $S_{\triangle EOC}=S_{\triangle EAB}$ 时，
得 $\dfrac 12\times \left[2-\left(-1\right)\right]b=\dfrac12 \left[1-\left(-3\right)\right]\left(-k+b\right) . \quad \cdots \cdots ② $
联立方程 $ ①② $，
得 $\begin{cases} 2k+b=\dfrac 52,\\ \dfrac 12\times \left[2-\left(-1\right)\right]b=\dfrac12 \left[1-\left(-3\right)\right]\left(-k+b\right),\end{cases}$ 解得 $\begin{cases} k=\dfrac {5}{12}, \\ b=\dfrac 53.\end{cases}$
所以当 $S_{\triangle EOC}=S_{\triangle EAB}$ 时，一次函数的解析式为 $y= \dfrac {5}{12}x+\dfrac 53$．

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  代几综合

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  函数与角

$k$ 的取值范围是 $-\dfrac 12<k<\dfrac 56$ 或 $ \dfrac56<k<\dfrac43 $

如图所示，设 $CD$ 的解析式为 $y=kx+\dfrac 52 -2k$，
当 $y=0$ 时，$kx+\dfrac 52 -2k=0$，
解得 $x=2-\dfrac {5}{2k}$，
所以 $F\left(2-\dfrac {5}{2k},0\right)$，$FH=\left|3-\dfrac {5}{2k}\right|$．
当 $x=-1$ 时，$y= \dfrac 52-3k$，
所以 $E\left(-1, \dfrac 52-3k\right)$，$AH=-1-\left(-3\right)=2$．
当 $\alpha>\beta$ 时，$\tan \alpha>\tan \beta$，即 $\dfrac {FH}{EH}>\dfrac {EH}{AH} $，
所以 $\dfrac{\left|3-\dfrac{5}{2k}\right|}{\left|\dfrac 52-3k\right|}>\dfrac{\left|\dfrac 52-3k\right|}{2} \left(k\ne\dfrac56\right)$．
当 $k\ne0$ 时，上式变形为 $\dfrac{\left|6k-5\right|}{\left|5k-6k^2\right|}>\dfrac{\left|5-6k\right|}{4} $，
所以 $\left|5k-6k^2\right|<4$，所以 $\begin{cases}6k^2-5k+4>0,\\ 6k^2-5k-4<0 .\end{cases}$结合图象，可得不等式组的解集为 $-\dfrac12<k<\dfrac43 \left(k\ne0,k\ne\dfrac56\right)$．
综上可得，$k$ 的取值范围是 $-\dfrac 12<k<\dfrac 56$ 或 $ \dfrac56<k<\dfrac43 $．