边长为 $2$ 的正方形 $OABC$ 在平面直角坐标系中的位置如图所示，点 $D$ 是边 $OA$ 的中点，连接 $CD$，点 $E$ 在第一象限，且 $DE\perp DC$，$DE=DC$．以直线 $AB$ 为对称轴的抛物线过 $C,E$ 两点．
【难度】
【出处】
无
【标注】
-
求抛物线的解析式；标注答案$y=\dfrac 13x^2-\dfrac 43x+2$解析过点 $E$ 作 $EG\perp x$ 轴于 $G$ 点．
易证 $\triangle ODC\cong\triangle GED ({\mathrm{AAS }})$，
所以 $GE=OD=\dfrac 12 OA=1$，
所以点 $E$ 的坐标为 $(3,1)$．
而直线 $AB$ 为抛物线的对称轴，直线 $AB$ 为 $x=2$，
所以可设抛物线的解析式为 $y=a\left(x-2\right)^2+k$，
将 $C,E$ 点的坐标代入解析式，得 $\begin{cases}4a+k=2,\\ a+k=1,\end{cases}$
解得 $\begin{cases}a=\dfrac 13,\\ k=\dfrac 23.\end{cases}$
所以抛物线的解析式为 $y=\dfrac 13\left(x-2\right)^2+\dfrac 23=\dfrac 13x^2-\dfrac 43x+2$． -
点 $P$ 从点 $C$ 出发，沿射线 $CB$ 以每秒 $1$ 个单位长度的速度运动，运动时间为 $t$ 秒．过点 $P$ 作 $PF\perp CD$ 于点 $F$．当 $t$ 为何值时，以点 $P,F,D$ 为顶点的三角形与 $\triangle COD$ 相似？标注答案$t=1$ 或 $t=\dfrac 52$ 时，以 $P,F,D$ 为顶点的三角形与 $\triangle COD$ 相似解析因为 $\angle PFD=\angle COD=90^\circ$，所以 $\triangle PFD$ 与 $\triangle COD$ 相似有两种情况：
① 若 $\triangle DFP\backsim \triangle COD$，则 $ \angle PDF=\angle DCO $，
从而 $PD\parallel OC$，
易证四边形 $PDOC$ 是矩形，
所以 $PC=OD=1$，即 $t=1$；
② 若 $\triangle PFD\backsim \triangle COD$，
则 $\angle DPF=\angle DCO$，$\dfrac{PD}{CD}=\dfrac{DF}{OD}$．
所以 $\angle PCF=90^\circ-\angle DCO=90^\circ-\angle DPF=\angle PDF$，
即 $PC=PD$，
从而 $CF=DF=\dfrac 12 CD=\dfrac{\sqrt 5}{2}$．
所以 $\dfrac{PD}{\sqrt 5}=\dfrac{\dfrac{\sqrt 5}{2}}{1}$，
所以 $PC=PD=\dfrac 52$，即 $t=\dfrac 52$．
综上所述，$t=1$ 或 $t=\dfrac 52$ 时，以 $P,F,D$ 为顶点的三角形与 $\triangle COD$ 相似． -
点 $M$ 为直线 $AB$ 上一动点，点 $N$ 为抛物线上一动点，是否存在点 $M,N$，使得以点 $M,N,D,E$ 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．标注答案存在．
四边形 $MDEN$ 是平行四边形时，$M_1\left(2,1\right)$，$N_1\left(4,2\right)$；
四边形 $MNDE$ 是平行四边形时，$M_2\left(2,3\right) $，$N_2\left(0,2\right)$；
四边形 $NDME$ 是平行四边形时，$M_3\left(2,\dfrac 13\right)$，$N_3\left(2,\dfrac 23\right)$解析由题意可设点 $M$ 的坐标为 $(2,m)$，点 $N$ 的坐标为 $\left(n,\dfrac 13n^2-\dfrac 43n+2\right)$．
以点 $M,N,D,E$ 为顶点的四边形是平行四边形有以下多种可能：
① 当 $DE$ 为平行四边形的边时，
i）如图，$DE\parallel M_1N_1$，$M_1D\parallel N_1E$．
由平移的的性质可得 $\begin{cases}2-1=n-3,\\m-0=\dfrac 13n^2-\dfrac 43n+2-1,\end{cases}$
解得 $\begin{cases}m=1,\\n=4.\end{cases}$
此时点 $M_1$ 的坐标为 $(2,1)$，点 $N_1$ 的坐标为 $\left(4,2\right)$；
ii）如图，$DE\parallel M_2N_2$，$M_2E\parallel N_2D$．
由平移的的性质可得 $\begin{cases}n-1=2-3,\\\dfrac 13n^2-\dfrac 43n+2-0=m-1,\end{cases}$
解得 $\begin{cases}m=3,\\n=0.\end{cases}$
此时点 $M_2$ 的坐标为 $(2,3)$，点 $N_2$ 的坐标为 $\left(0,2\right)$；
② 当 $DE$ 为平行四边形的对角线时，如图．
由平行四边形对角线互相平分可得 $\begin{cases}1+3=2+n,\\0+1=m+\dfrac 13n^2-\dfrac 43n+2,\end{cases}$
解得 $\begin{cases}m=\dfrac 13,\\n=2.\end{cases}$
此时点 $M_3$ 的坐标为 $\left(2,\dfrac 13\right)$，点 $N_3$ 的坐标为 $\left(2,\dfrac 23\right)$．
综上可得，存在满足题意的点 $M,N$，它们的坐标为 $M_1(2,1),N_1\left(4,2\right)$；$M_2(2,3),N_2\left(0,2\right)$；$M_3\left(2,\dfrac 13\right),N_3\left(2,\dfrac 23\right)$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
问题3
答案3
解析3
备注3
