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若函数 $f\left( x \right),g\left( x \right)$ 满足 $\displaystyle\int_{ - 1}^1 {f\left( x \right)g\left( x \right){\mathrm {d}}x = 0} $，则称 $f\left( x \right),g\left( x \right)$ 为区间 $\left[ { - 1,1} \right]$ 上的一组正交函数，下列各组函数中，为区间 $\left[ { - 1,1} \right]$ 上的正交函数的有 \((\qquad)\)
A: $f\left( x \right) = \sin \dfrac{1}{2}x$，$g\left( x \right) = \cos \dfrac{1}{2}x$
B: $f\left( x \right) = x + 1$，$g\left( x \right) = x - 1$
C: $f\left( x \right) = x$，$g\left( x \right) = {x^2}$
D: $f(x)=2^x$，$g(x)=2^{-x}$
【难度】
【出处】
2014年高考湖北卷（理）
【标注】
  • 知识点
    >
    微积分初步
    >
    积分
    >
    定积分的几何意义
  • 知识点
    >
    函数
    >
    函数的图象与性质
    >
    函数的对称性
  • 题型
    >
    函数
    >
    函数创新题
【答案】
AC
【解析】
根据题意，对非零连续函数 $f(x),g(x)$，有
引理一 $f(x)\cdot g(x)$ 是奇函数是 $f(x),g(x)$ 为区间 $[-1,1]$ 上的正交函数的充分条件；
引理二 $f(x)\cdot g(x)$ 在 $[-1,1]$ 上有正函数值也有负函数值是 $f(x),g(x)$ 为区间 $[-1,1]$ 上的正交函数的必要条件．
根据引理一，①③ 是区间 $[-1,1]$ 上的正交函数；根据引理二，②④ 不是区间 $[-1,1]$ 上的正交函数．
题目 答案 解析 备注
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