在平面直角坐标系 $xOy$ 中，点 $P$ 的坐标为 $(x,y)$，若过点 $P$ 的直线与 $x$ 轴夹角为 $60^\circ$ 时，则称该直线为点 $P$ 的“相关直线”．已知 $\odot O$ 的半径为 $\sqrt 3$，$\odot O$ 上存在一点 $N$，点 $N$ 的“相关直线”与双曲线 $y=\dfrac{3\sqrt 3}x (x>0)$ 相交于点 $M$，求点 $M$ 的横坐标的取值范围．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$1\leqslant x\leqslant 3$
【解析】
如图，设 $\odot O$ 上的点 $N_1$ 的“相关直线”与 $\odot O$ 相切，交双曲线于点 $M_1$，交 $y$ 轴于点 $Q_1$．
连接 $ON_1$，则 $ON_1\perp M_1N_1$，且 $ON_1=\sqrt 3$．
所以 $OQ_1=2ON_1=2\sqrt 3$，即点 $Q(0,2\sqrt 3)$．
作 $N_1R_1\perp y$ 轴于点 $R_1$，
则 $OR_1=\dfrac 12 ON_1=\dfrac{\sqrt 3}2$，$N_1R_1=\sqrt 3OR_1=\dfrac 32$，
所以点 $N_1\left(-\dfrac 32,\dfrac{\sqrt 3}2\right)$．
从而直线 $M_1N_1$ 的解析式为 $y=\sqrt 3x+2\sqrt 3$．
联立方程组 $\begin{cases}y=\sqrt 3x+2\sqrt 3,\\y=\dfrac{3\sqrt 3}x.\end{cases}$
解得 $\begin{cases}x=1,\\y=3\sqrt 3\end{cases}$ 或 $\begin{cases}x=-3,\\y=-\sqrt 3.\end{cases}(舍去)$
所以点 $M_1(1,3\sqrt 3)$；
如图，同理可得点 $M_2(3,\sqrt 3)$．
所以点 $M$ 的横坐标的取值范围为 $1\leqslant x\leqslant 3$．
连接 $ON_1$，则 $ON_1\perp M_1N_1$，且 $ON_1=\sqrt 3$．所以 $OQ_1=2ON_1=2\sqrt 3$，即点 $Q(0,2\sqrt 3)$．
作 $N_1R_1\perp y$ 轴于点 $R_1$，
则 $OR_1=\dfrac 12 ON_1=\dfrac{\sqrt 3}2$，$N_1R_1=\sqrt 3OR_1=\dfrac 32$，
所以点 $N_1\left(-\dfrac 32,\dfrac{\sqrt 3}2\right)$．
从而直线 $M_1N_1$ 的解析式为 $y=\sqrt 3x+2\sqrt 3$．
联立方程组 $\begin{cases}y=\sqrt 3x+2\sqrt 3,\\y=\dfrac{3\sqrt 3}x.\end{cases}$
解得 $\begin{cases}x=1,\\y=3\sqrt 3\end{cases}$ 或 $\begin{cases}x=-3,\\y=-\sqrt 3.\end{cases}(舍去)$
所以点 $M_1(1,3\sqrt 3)$；
如图，同理可得点 $M_2(3,\sqrt 3)$．
所以点 $M$ 的横坐标的取值范围为 $1\leqslant x\leqslant 3$．
答案
解析
备注
