在平面直角坐标系 $xOy$ 中，过点 $(0,5)$ 且平行于 $x$ 轴的直线 $l$，与抛物线 $y=ax^2-4ax+4a-3 (a\ne 0)$ 交于 $A,B$ 两点．当线段 $AB$ 的长不小于 $6$ 时，求 $a$ 的取值范围．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$a$ 的取值范围为 $0<a\leqslant \dfrac 89$
【解析】
因为二次函数 $y=ax^2-4ax+4a-3=a(x-2)^2-3$，
所以其对称轴为 $x=2$．
当线段 $AB=6$ 时，假设点 $A$ 在点 $B$ 的左侧，如图所示．
此时点 $A(-1,5)$，点 $B(5,5)$，
代入抛物线解析式，得到 $a=\dfrac 89$．
而 $|a|$ 越小，抛物线开口越大，
所以结合图象，满足题意的 $a$ 的取值范围为 $0<a\leqslant \dfrac 89$．
所以其对称轴为 $x=2$．
当线段 $AB=6$ 时，假设点 $A$ 在点 $B$ 的左侧，如图所示．
此时点 $A(-1,5)$，点 $B(5,5)$，代入抛物线解析式，得到 $a=\dfrac 89$．
而 $|a|$ 越小，抛物线开口越大，
所以结合图象，满足题意的 $a$ 的取值范围为 $0<a\leqslant \dfrac 89$．
答案
解析
备注
