在平面直角坐标系 $xOy$ 中，抛物线 $y=ax^2+2ax-3a (a>0)$ 与 $x$ 轴交于 $A,B$ 两点（点 $A$ 在点 $B$ 的左侧）．若在抛物线上存在一点 $N$，使得 $\angle ANB=90^\circ$，结合图象，求 $a$ 的取值范围．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$a$ 的取值范围为 $a\geqslant \dfrac 12$
【解析】
抛物线 $y=ax^2+2ax-3a=a(x+3)(x-1)=a(x+1)^2-4a$，
所以点 $A(-3,0)$，点 $B(1,0)$，
从而 $AB=4$，抛物线对称轴为 $x=-1$．
以 $AB$ 为直径作圆，
① 如图，当点 $N$ 为圆与轴对称交点时，则点 $N$ 的坐标为 $(-1,-2)$．
将其代入抛物线解析式，得 $a=\dfrac 12$．
② 如图，当点 $N$ 在抛物线上（不与顶点重合）时，显然 $a>\dfrac 12$．
综上可得，满足题意的 $a$ 的取值范围为 $a\geqslant \dfrac 12$．
所以点 $A(-3,0)$，点 $B(1,0)$，
从而 $AB=4$，抛物线对称轴为 $x=-1$．
以 $AB$ 为直径作圆，① 如图，当点 $N$ 为圆与轴对称交点时，则点 $N$ 的坐标为 $(-1,-2)$．
将其代入抛物线解析式，得 $a=\dfrac 12$．
② 如图，当点 $N$ 在抛物线上（不与顶点重合）时，显然 $a>\dfrac 12$．
综上可得，满足题意的 $a$ 的取值范围为 $a\geqslant \dfrac 12$．
答案
解析
备注
