若函数 $f\left( x \right),g\left( x \right)$ 满足 $\displaystyle\int_{ - 1}^1 {f\left( x \right)g\left( x \right){\mathrm {d}}x = 0} $，则称 $f\left( x \right),g\left( x \right)$ 为区间 $\left[ { - 1,1} \right]$ 上的一组正交函数，给出三组函数：
① $f\left( x \right) = \sin \dfrac{1}{2}x,g\left( x \right) = \cos \dfrac{1}{2}x$；② $f\left( x \right) = x + 1,g\left( x \right) = x - 1$；③ $f\left( x \right) = x,g\left( x \right) = {x^2}$．
其中为区间 $\left[ { - 1,1} \right]$ 上的正交函数的组数是 \((\qquad)\)
① $f\left( x \right) = \sin \dfrac{1}{2}x,g\left( x \right) = \cos \dfrac{1}{2}x$；② $f\left( x \right) = x + 1,g\left( x \right) = x - 1$；③ $f\left( x \right) = x,g\left( x \right) = {x^2}$．
其中为区间 $\left[ { - 1,1} \right]$ 上的正交函数的组数是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2014年高考湖北卷（理）
【标注】
【答案】
C
【解析】
根据题意，对非零连续函数 $f(x),g(x)$，有
引理一 $f(x)\cdot g(x)$ 是奇函数是 $f(x),g(x)$ 为区间 $[-1,1]$ 上的正交函数的充分条件；
引理二 $f(x)\cdot g(x)$ 在 $[-1,1]$ 上有正函数值也有负函数值是 $f(x),g(x)$ 为区间 $[-1,1]$ 上的正交函数的必要条件．
根据引理一，①③ 是区间 $[-1,1]$ 上的正交函数；根据引理二，② 不是区间 $[-1,1]$ 上的正交函数．
根据引理一，①③ 是区间 $[-1,1]$ 上的正交函数；根据引理二，② 不是区间 $[-1,1]$ 上的正交函数．
题目
答案
解析
备注
