已知 $a,b,c>0$，且 $a^2+b^2+4c^2=1$，求 $ab+2ca+3\sqrt 2bc$ 的最大值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\sqrt 2$
【解析】
我们希望得到使得$$\lambda\cdot (a^2+b^2+c^2)-\left(ab+ca+\dfrac{3}{\sqrt 2}bc\right)\geqslant 0$$恒成立的最小 $\lambda$，其中 $\lambda $ 为参数，且 $\lambda >0$．
关于 $a$ 整理，有$$\lambda\cdot a^2-(b+c)\cdot a+\lambda\left(b^2+c^2\right)-\dfrac 3{\sqrt 2}bc\geqslant 0,$$于是判别式$$(b+c)^2-4\lambda\cdot\left[\lambda\left(b^2+c^2\right)-\dfrac{3}{\sqrt 2}bc\right] \leqslant 0,$$关于 $b$ 整理，有$$\left(1-4\lambda^2\right)\cdot b^2+\left(2+6\sqrt 2\lambda \right)c\cdot b+\left(1-4\lambda ^2\right)\cdot c^2 \leqslant 0,$$于是 $1-4\lambda ^2<0$，即 $\lambda >\dfrac 12$，且判别式$$\left(2+6\sqrt 2\lambda\right)^2\cdot c^2-4\left(1-4\lambda^2\right)^2\cdot c^2\leqslant 0,$$整理得$$\left(4\lambda +\sqrt 2\right)\cdot\left(\lambda -\sqrt 2\right) \geqslant 0\Rightarrow \lambda \geqslant \sqrt 2.$$容易验证 $a=\dfrac{1}{\sqrt 5}$，$b=c=\dfrac{\sqrt 2}{\sqrt 5}$ 时等号可取得，因此所求的最大值为 $\sqrt 2$．
关于 $a$ 整理，有$$\lambda\cdot a^2-(b+c)\cdot a+\lambda\left(b^2+c^2\right)-\dfrac 3{\sqrt 2}bc\geqslant 0,$$于是判别式$$(b+c)^2-4\lambda\cdot\left[\lambda\left(b^2+c^2\right)-\dfrac{3}{\sqrt 2}bc\right] \leqslant 0,$$关于 $b$ 整理，有$$\left(1-4\lambda^2\right)\cdot b^2+\left(2+6\sqrt 2\lambda \right)c\cdot b+\left(1-4\lambda ^2\right)\cdot c^2 \leqslant 0,$$于是 $1-4\lambda ^2<0$，即 $\lambda >\dfrac 12$，且判别式$$\left(2+6\sqrt 2\lambda\right)^2\cdot c^2-4\left(1-4\lambda^2\right)^2\cdot c^2\leqslant 0,$$整理得$$\left(4\lambda +\sqrt 2\right)\cdot\left(\lambda -\sqrt 2\right) \geqslant 0\Rightarrow \lambda \geqslant \sqrt 2.$$容易验证 $a=\dfrac{1}{\sqrt 5}$，$b=c=\dfrac{\sqrt 2}{\sqrt 5}$ 时等号可取得，因此所求的最大值为 $\sqrt 2$．
答案
解析
备注
