已知 $O$ 为锐角三角形 $ABC$ 的外心，$A=\dfrac{\pi}3$，且 $\overrightarrow{OA}=x\overrightarrow{OB}+y\overrightarrow{OC}$，求 $2x-y$ 的取值范围．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$(-2,1)$
【解析】
设 $BD$ 和 $CE$ 为圆 $O$ 的直径，则点 $A$ 在劣弧 $DE$ 上运动，于是$$\overrightarrow {OA}=(-x)\overrightarrow{OD}+(-y)\overrightarrow{OE}, \land x,y<0.$$
根据题意，有$$\overrightarrow {OA}^2=\left[(-x)\overrightarrow{OD}+(-y)\overrightarrow{OE}\right]^2,$$于是$$x^2-xy+y^2=1,$$且 $x,y<0$．
将条件配方，有$$\left(x-\dfrac 12y\right)^2+\left(\dfrac{\sqrt 3}2y\right)^2=1,$$令 $a=x-\dfrac 12y,b=\dfrac{\sqrt 3}2y$，则所求范围即 $2a$ 的取值范围．根据题意，有$$a+\dfrac{b}{\sqrt 3}<0,b<0,$$规划如图．
不难得到，$a$ 的取值范围是 $\left(-1,\dfrac 12\right)$，因此所求代数式的取值范围是 $\left(-2,1\right)$．
根据题意，有$$\overrightarrow {OA}^2=\left[(-x)\overrightarrow{OD}+(-y)\overrightarrow{OE}\right]^2,$$于是$$x^2-xy+y^2=1,$$且 $x,y<0$．将条件配方，有$$\left(x-\dfrac 12y\right)^2+\left(\dfrac{\sqrt 3}2y\right)^2=1,$$令 $a=x-\dfrac 12y,b=\dfrac{\sqrt 3}2y$，则所求范围即 $2a$ 的取值范围．根据题意，有$$a+\dfrac{b}{\sqrt 3}<0,b<0,$$规划如图．
不难得到，$a$ 的取值范围是 $\left(-1,\dfrac 12\right)$，因此所求代数式的取值范围是 $\left(-2,1\right)$．
答案
解析
备注
