已知 $x>0$，求证：$\left( \mathrm{e}^x-1\right)\cdot \ln (1+x)>x^2 $．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
易证，当 $x>0$ 时，$$\mathrm{e}^x-1>x+\dfrac{x^2}{2}>0, \ln(1+x)>\dfrac{2x }{x+2}>0,$$所以$$\left(\mathrm{e}^x-1\right)\cdot\ln (1+x)>\left(x+\dfrac{x^2}{2} \right)\cdot \dfrac{2x}{x+2}=\dfrac{x\left(x^2+2x\right)}{x+2}=x^2.$$
答案
解析
备注
