题目 如图，菱形 $ABCD$ 中，对角线 $AC,BD$ 相交于点 $O$，$AC=12 \mathrm{cm}$，$BD=16 \mathrm{cm}$，动点 $N$ 从点 $D$ 出发，沿线段 $DB$ 以 $2 \mathrm{cm{/}s}$ 的速度向点 $B$ 运动，同时动点 $M$ 从点 $B$ 出发，沿线段 $BA$ 以 $1 \mathrm{cm{/}s}$ 的速度向点 $A$ 运动，当其中一个动点停止运动时另个一动点也随之停止．设运动时间为 $t(\mathrm{s}) (t>0)$．以点 $M$ 为圆心、$MB$ 长为半径的 $\odot M$ 与射线 $BA$，线段 $BD$ 分别交于点 $E,F$，连接 $EN$．<br><img src="/static/images/aa9862bf959b0c8c8b88dbf10a2db58d.png" class="img-responsive" /> 问题1 当 $t$ 为何值时，线段 $EN$ 与 $\odot M$ 相切？ 答案1 当 $t$ 为 $\dfrac{32}9\mathrm{s}$ 时，线段 $EN$ 与 $\odot M$ 相切 解析1 由题意可得 $OA=6 \mathrm{cm}$，$OB=8 \mathrm{cm}$，<br/>所以 $AB=10 \mathrm{cm}$．<br/>而 $BE=2BM=2t(\mathrm{cm})$，$DN=2t(\mathrm{cm})$，<br/>所以 $BN=(16-2t)\mathrm{cm}$．<br/>如图，若线段 $EN$ 与 $\odot M$ 相切，则 $EN\perp AB$．<img src="/static/images/deb7a6ca15b3ae07389cc3b853c32c0e.png" class="img-responsive" />此时 $\triangle BEN\backsim \triangle BOA$，<br/>所以 $\dfrac{BE}{BO}=\dfrac{BN}{BA}$，<br/>即 $\dfrac{2t}{8}=\dfrac{16-2t}{10}$，<br/>解得 $t=\dfrac{32}9 \mathrm{s}$．<br/>故当 $t$ 为 $\dfrac{32}9\mathrm{s}$ 时，线段 $EN$ 与 $\odot M$ 相切． 备注1 问题2 若 $\odot M$ 与线段 $EN$ 只有一个公共点，求 $t$ 的取值范围． 答案2 $0<t\leqslant \dfrac{32}9$ 或 $\dfrac{40}9<t<8$ 解析2 如图，当点 $F,N$ 重合时，则 $EN\perp BD$．<img src="/static/images/11881bd892be5b718792842477bd0ca5.png" class="img-responsive" />此时 $\triangle BEN\backsim \triangle BAO$，<br/>所以 $\dfrac{BE}{BA}=\dfrac{BN}{BO}$，<br/>即 $\dfrac{2t}{10}=\dfrac{16-2t}{8}$，<br/>解得 $t=\dfrac{40}9$．<br/>当点 $N$ 和点 $B$ 重合时，有 $2t=16$，即 $t=8$．<br/>结合图形，可得 $\odot M$ 与线段 $EN$ 只有一个公共点时 $t$ 的取值范围为 $0<t\leqslant \dfrac{32}9$ 或 $\dfrac{40}9<t<8$． 备注2