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导数假设 $f(x)$ 是周期为 $T$ 的周期函数，那么 $f(x)$ 的导函数\[f'(x)=\cos x+\pi \cos(\pi x)\]也是周期为 $T$ 的周期函数．此时有\[\cos 0+\pi\cos(\pi \cdot 0)=\cos T+\pi \cos(\pi\cdot T),\]考虑最大值，有\[\cos T=1,\cos(\pi\cdot T)=1,\]进而\[T=2k_1\pi,\pi\cdot T=2k_2\pi,\]其中 $k_1,k_2$ 均为非零整数．此时有 $\pi=\dfrac{k_2}{k_1}$ 为有理数，矛盾．因此 $f(x)$ 不是周期函数．
零点假设 $f(x)$ 是周期为 $T$ 的周期函数．我们研究函数 $f(x)$ 的零点，令 $f(x)=0$，则可得\[x=-\pi\cdot x+2k\pi,{\text{或} }x=\pi+\pi\cdot x+2k\pi,\]也即\[x=\dfrac{2k\pi}{1+\pi},{\text{或} }x=\dfrac{(2k+1)\pi}{1-\pi},\]其中 $k\in\mathbb Z$．由于 $f(T)=f(0)=0$，于是 $T=\dfrac{2n\pi}{1+\pi}$ 或 $T=\dfrac{(2n+1)\pi}{1-\pi}$，其中 $n$ 是整数．
记 $x_1=\dfrac{2\pi}{1+\pi}$，$x_2=\dfrac{\pi}{1-\pi}$．若 $T=\dfrac{2n\pi}{1+\pi}$，则考虑\[x_2+T=\dfrac{\pi}{1-\pi}+\dfrac{2n\pi}{1+\pi},n\ne 0,\]必然不在函数 $f(x)$ 的零点构成的集合中；类似的，若 $T=\dfrac{(2n+1)\pi}{1-\pi}$，则考虑\[x_1+T=\dfrac{2\pi}{1+\pi}+\dfrac{(2n+1)\pi}{1-\pi},\]必然不在函数 $f(x)$ 的零点构成的集合中．综上所述，原命题得证．
三角假设 $f(x)$ 是周期为 $T$ 的周期函数，在 $f(m)=f(m+T)$ 中，分别令 $m=0,1,2$，可得\[\begin{cases}\sin T+\sin (\pi T)=0,\\
\sin (T+1)-\sin (\pi T)=\sin 1,\\
\sin (T+2)+\sin (\pi T)=\sin 2,\end{cases}\]将第一个式子分别与第二个式子相加，与第三个式子相减，可得\[\begin{cases}\sin (T+1)+\sin T=\sin 1,\\
\sin (T+2)-\sin T=\sin 2,\end{cases}\]和差化积，可得\[\begin{cases} 2\sin \left(T+\dfrac 12\right)\cos\dfrac 12=2\sin\dfrac 12\cos \dfrac 12,\\
2\cos\left(T+1\right)\sin 1=2\sin 1\cos 1,\end{cases}\]于是\[\begin{cases}T=2k_1\pi,{\text{或} }T=\pi-1+2k_1\pi,\\
T=2k_2\pi,{\text{或} }T=-2+2k_2\pi,\end{cases}\]其中 $k_1,k_2\in\mathbb Z$．这样就得到了 $T=2k\pi$，$k\in\mathbb Z$．代入\[\sin T+\sin(\pi T)=0,\]可得 $\sin(2k\pi^2)=0$，于是\[2k\pi^2=n\pi,\]其中 $n\in\mathbb Z$．也即 $\pi=\dfrac{n}{2k}$，与 $\pi$ 是无理数矛盾，因此 $f(x)$ 不是周期函数．