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如图，一次函数 $y=k_1x+5 (k_1<0)$ 的图象与坐标轴交于 $A,B$ 两点，与反比例函数 $y=\dfrac{k_2}x (k_2>0)$ 的图象交于 $M,N$ 两点，过点 $M$ 作 $MC\perp y$ 轴于点 $C$．设点 $P$ 是 $x$ 轴（除原点 $O$ 外）上一点，将线段 $CP$ 绕点 $P$ 按顺时针或逆时针旋转 $90^\circ$ 得到 $PQ$．若 $CM=1$，$\dfrac{AM}{AN}=\dfrac 14$．当点 $P$ 滑动时，点 $Q$ 能否在反比例函数图象上？如果能，求出所有的点 $Q$ 的坐标；如果不能，请说明理由．
【难度】
【出处】
无
【标注】
  • 题型
    >
    几何部分
    >
    几何模型
    >
    弦图模型
【答案】
满足题意的点 $Q$ 的坐标为 $(-2,-2)$ 或 $(2\sqrt 2+2,2\sqrt 2-2)$
【解析】
过点 $N$ 作 $ND\perp y$ 轴于点 $D$．则有 $\dfrac{CM}{DN}=\dfrac{AM}{AN}=\dfrac 14$，所以 $DN=4$．
可设点 $N$ 的坐标为 $(4,n)$，则 $k_2=4n$，
所以点 $M$ 的坐标为 $(1,4n)$．
将 $M,N$ 坐标代入一次函数解析式得 $\begin{cases}k_1+5=4n,\\4k_1+5=n,\end{cases}$
解得 $\begin{cases}k_1=-1,\\ n=1.\end{cases}$ 即点 $M(1,4)$，
从而反比例函数解析式为 $y=\dfrac 4x$．
设动点 $P$ 的坐标为 $(m,0)$，显然 $m>0$．
① 如图，将 $CP$ 绕点 $P$ 顺时针旋转 $90^\circ$ 得到 $PQ$．过点 $Q$ 作 $QE\perp x$ 轴于点 $E$．
易证 $\triangle POC\cong \triangle QEP$，
所以 $EQ=OP=m$，$EP=OC=4$，
从而得到点 $Q$ 的坐标为 $(m+4,m)$．
若点 $Q$ 在反比例函数图象上，则有 $m(m+4)=4$，
解得 $m_1=2\sqrt 2-2$，$m_2=-2\sqrt 2-2$（舍去）．
此时点 $Q$ 的坐标为 $(2\sqrt 2+2,2\sqrt 2-2)$；
② 如图，将 $CP$ 绕点 $P$ 逆时针旋转 $90^\circ$ 得到 $PQ$．过点 $Q$ 作 $QE\perp x$ 轴于点 $E$．
易证 $\triangle POC\cong \triangle QEP$，
所以 $EQ=OP=m$，$EP=OC=4$，
从而得到点 $Q$ 的坐标为 $(m-4,-m)$．
若点 $Q$ 在反比例函数图象上，则有 $-m(m-4)=4$，
解得 $m=2$．
此时点 $Q$ 的坐标为 $(-2,-2)$．
综上可得，满足题意的点 $Q$ 的坐标为 $(-2,-2)$ 或 $(2\sqrt 2+2,2\sqrt 2-2)$．
答案 解析 备注
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