已知圆周率 $\pi$ 是无理数，函数 $f(x)=\sin x+\sin (\pi x)$，求证：$f(x)$ 不是周期函数．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
假设 $f(x)$ 是周期为 $T$ 的周期函数，在 $f(m)=f(m+T)$ 中，分别令 $m=0,1,2$，可得\[\begin{cases}\sin T+\sin (\pi T)=0,\\
\sin (T+1)-\sin (\pi T)=\sin 1,\\
\sin (T+2)+\sin (\pi T)=\sin 2,\end{cases}\]将第一个式子分别与第二个式子相加，与第三个式子相减，可得\[\begin{cases}\sin (T+1)-\sin T=\sin 1,\\
\sin (T+2)+\sin T=\sin 2,\end{cases}\]和差化积，可得\[\begin{cases} 2\sin \left(T+\dfrac 12\right)\cos\dfrac 12=2\sin\dfrac 12\cos \dfrac 12,\\
2\cos\left(T+1\right)\sin 1=2\sin 1\cos 1,\end{cases}\]于是\[\begin{cases}T=2k_1\pi,\lor T=\pi-1+2k_1\pi,\\
T=2k_2\pi,\lor T=-2+2k_2\pi,\end{cases}\]其中 $k_1,k_2\in\mathbb Z$．这样就得到了 $T=2k\pi$，$k\in\mathbb Z$．代入\[\sin T+\sin(\pi T)=0,\]可得 $\sin(2k\pi^2)=0$，于是\[2k\pi^2=n\pi,\]其中 $n\in\mathbb Z$．也即 $\pi=\dfrac{n}{2k}$，与 $\pi$ 是无理数矛盾，因此 $f(x)$ 不是周期函数．
\sin (T+1)-\sin (\pi T)=\sin 1,\\
\sin (T+2)+\sin (\pi T)=\sin 2,\end{cases}\]将第一个式子分别与第二个式子相加，与第三个式子相减，可得\[\begin{cases}\sin (T+1)-\sin T=\sin 1,\\
\sin (T+2)+\sin T=\sin 2,\end{cases}\]和差化积，可得\[\begin{cases} 2\sin \left(T+\dfrac 12\right)\cos\dfrac 12=2\sin\dfrac 12\cos \dfrac 12,\\
2\cos\left(T+1\right)\sin 1=2\sin 1\cos 1,\end{cases}\]于是\[\begin{cases}T=2k_1\pi,\lor T=\pi-1+2k_1\pi,\\
T=2k_2\pi,\lor T=-2+2k_2\pi,\end{cases}\]其中 $k_1,k_2\in\mathbb Z$．这样就得到了 $T=2k\pi$，$k\in\mathbb Z$．代入\[\sin T+\sin(\pi T)=0,\]可得 $\sin(2k\pi^2)=0$，于是\[2k\pi^2=n\pi,\]其中 $n\in\mathbb Z$．也即 $\pi=\dfrac{n}{2k}$，与 $\pi$ 是无理数矛盾，因此 $f(x)$ 不是周期函数．
答案
解析
备注
